51nod_1412_AVL树的种类_动态规划
题意：
平衡二叉树(AVL树），是指左右子树高度差至多为1的二叉树，并且该树的左右两个子树也均为AVL树。 现在问题来了，给定AVL树的节点个数n，求有多少种形态的AVL树恰好有n个节点。
分析：
把一个AVL树拆成根节点，左子树和右子树。
左子树和右子树的情况只有两种：高度相等或者高度差1。
设f[i][j]表示i个结点，高度为j的AVL树的个数。
转移：f[i][j]+=f[k][j-1]*f[i-k-1][j-1]+2*f[k][j-2]*f[i-k-1][j-1]
代码：
#include <stdio.h>
#include <string.h>
#include <algorithm>
#include <bitset>
using namespace std;
#define LL long long
LL p=1000000007;
LL f[2020][20],g[20],n;
int main(){
scanf("%lld",&n);
int i,j,k;
f[0][0]=1;
f[1][1]=1;
for(i=2;i<=n;i++){
for(k=2;k<16;k++){
for(j=0;j<i;j++){
f[i][k]=(f[i][k]+f[j][k-1]*f[i-j-1][k-1])%p;
f[i][k]=(f[i][k]+2*f[j][k-2]*f[i-j-1][k-1])%p;
}
}
}
LL ans=0;
for(i=1;i<16;i++) ans=(ans+f[n][i])%p;
printf("%lld
",ans);
}