动态规划--数字三角形问题

1. 问题描述

有一个像这样的数字三角形:
　　　　　　　　　

７
　　　　　　３　８
　　　　　８　１　０
　　　　２　７　４　４
　　　４　５　２　６　５

从顶点开始,每个数字向下层走只能有左下和右下两个方向,求出到达最后一行时最大的路径之和。

Input
第1 行是数字三角形的行数n，1<= n <=100。

接下来n行是数字三角形各行中的数字。所有数字在0---99之间。

比如Input是：

3 8

8 1 0

2 7 4 4

4 5 2 6 5

则output是30。

2. 问题求解

这是一个典型的动态规划求解问题，因为它符合动态规划所能解决的问题的性质：

最优子结构性质

子问题重叠性

看到这个题目，很容易想起多段图的那个题目，其实道理真的是一样的，唯一的区别就是：一个是从一些顶点到一个终点求最小值；一个是一个起点到一些点求最大值。

所以状态和转移方程都可以模仿多段图的解法：

[f(i,j) = max { f(i - 1,j - 1),f(i - 1,j)} + {C_{ij}}] [0 le i < n,0 < j < i]

其中i表示该点所在三角形的行数（行数从0开始算），j表示该点所在某行的第几个，也就是列数（列数从0开始计算）。

注意：转移方程中的i,j在代码计算的时候不能越界。所以每一行的两端的数字的f函数要单独计算，只有一种决策才能到达它们。

3. 代码实现

#define MAX 100
#define getMax(x,y) (x>y ? x : y)
#include <stdio.h>

void main(void)
{
	freopen("in.txt", "r", stdin);
	freopen("out.txt", "w", stdout);

	//初始化数组的元素全部为0
	int path[MAX][MAX] = {0};
	int dist[MAX][MAX] = {0};

	//为三角形赋值
	int i = 0;
	int j = 0;
	int n = 0;	//三角形的行数
	scanf("%d", &n);

	for(i= 0; i < n; i++)
	{
		for(j = 0; j <= i; j++)
		{
			scanf("%d", &path[i][j]);
		}
	}//for

	//为了防止转移方程越界，每行的开头和结尾首先算出最长路径
	dist[0][0] = path[0][0];
	for(i = 1; i < n; i++)
	{
		dist[i][0] = dist[i-1][0] + path[i][0];
	}//for

	for(i = 1; i < n; i++)
	{
		dist[i][i] = dist[i-1][i-1] + path[i][i];
	}

	//计算出中间每个节点的最长路径
	for(i = 2; i < n; i++)
	{
		for(j = 1; j < i; j++)
		{
			dist[i][j] = getMax(dist[i-1][j-1], dist[i-1][j]) + path[i][j];
		}
	}

	//找到最长的路径
	int maxSum = 0;
	for(j = 0; j < n; j++)
	{
		if(maxSum < dist[n-1][j])
		{
			maxSum = dist[n-1][j];
		}
	}//for

	printf("%d", maxSum);


	fclose(stdin);
	fclose(stdout);
	return;
}

　　测试数据：

4. 空间压缩

上面的算法的时间复杂度是O(n²)，空间复杂度同原始的数组一样大小。下面根据前面的矩形的最短路径的动态规划的空间压缩方法，对这个问题的算法的空间复杂度进行压缩。同时如果从上往下的计算起始点到终止点的路径和，为了防止数组边界越界，要单独的处理两个边界，所以可以采用从下往上的方式处理。

int min(int param1, int param2)
{
	return param1 < param2 ? param1 : param2;
}

int minTotal(vector<vector<int> >& triangle)
{
	int i,j;

	for(i = triangle.size(); i >= 0; i--)
	{
		for(j = 0; j < i + 1; j++)
		{
			triangle[i][j] += min(triangle[i+1][j], triangle[i+1][j+1]);
		}
	}

	return triangle[0][0];
}

　　这种改进的时间复杂度没有改变，但是空间复杂度减少到了O(1)，但是原数组的数据被修改掉了。当然也可以用一个O(n)大小的数组记录每一行的最短路径和，然后利用从下向上滚动的方式，数组的大小逐渐减少1，这样就实现了在不改变原数组的条件下，空间复杂度从原来的O(n²)减低到了O(n)。