网络流初步详解中大致谈了一下最大流的一些算法，其中Dinic是非常重要的，补一句：最大流 == 最小割。
本文包括:
1.费用流的概念及基本性质
2.Edmonds-Karp增广路算法求费用流
3.一些关于费用流的技巧
4.关于费用流的刷题指南
1 . 费用流的概念及基本性质
//假设您已经理解了Dinic算法和EK算法二者之一。
对于我们原来的网络流，现在给你一个网络，每条边除了有流量（容量）的限制外，还有一个单位费用，经过这条边，我们不仅要符合可行流的条件，还要付出一个费用 = 单位费用和该边流量之积。
而对于费用流，现在主要可分为“最小费用最大流”和“最大费用最大流”两种基本题型。（至于最小流一般会出现在有上下界的网络流中，这个会在网络流初步详解3中讲解）
最重要的，上述两种基本题型模板基本相同，并且是以最大流为前提。
2.Edmonds-Karp增广路算法求费用流
再次重复：您需要理解了Dinic算法和EK算法二者之一，这样你可以在5分钟内学会费用流模板。
我们在这里考虑，为什么不能在Dinic算法的基础上求出费用流。
这里简单谈下，Dinic算法是一个基于残量网络上不断找出増广路的算法，我们在找増广路时，只是考虑了流量和分层图的深度问题，而我们加上单位费用限制后，这种只要可以増广就马上増广的算法就难以变通。
这是我们不妨考虑效率较低，但每次BFS只随机找到一条増广路的Edmonds-Karp增广路算法。我们很容易发现，我们可以限制这个“随机”増广路，从而让它满足费用最大或最小的条件。具体我们将采用一个鲜为人知的被卡死SPFA来实现。
先说一下，为了满足我们最大流的“斜对称”原则，及我们可以反悔，以求出最大流，反边的单位费用稍作处理，赋值为 -w
void add_edge(int x, int y, int z, int c) {// 流量限制z，单位费用c
to[++tot] = y, w[tot] = z, cost[tot] = c;
nex[tot] = head[x], head[x] = tot;
to[++tot] = x, w[tot] = 0, cost[tot] = -c;// 这里强调，反边流量初值为0，别无意间打错了
nex[tot] = head[y], head[y] = tot; // 并且费用在回流时要可以返还
}
然后我们来讲解具体的最短路上实现増广路操作。(这里给出最小费用最大流)
这里给出2个代码，前者是正确的，而后者可能会出现TLE和WA的错误，请读者仔细思考。
AC：
bool spfa() {
queue<int> q;
memset( dis , 0x3f3f3f3f , sizeof(dis) );
memset(v, 0, sizeof(v));
q.push(s); dis[ s ] = 0;
v[ s ] = true; //判断是否入队
flow[ s ] = OO ; // 源点无限量
while (q.size()) {
int x = q.front(); q.pop(); v[ x ] = false ;
for( register int i = head[ x ] ; i ; i = nex[ i ] ){
if (!w[ i ]) continue; // 剪枝
if ( dis[ to[ i ] ] > dis[ x ] + cost[ i ] ){
dis[ to[ i ] ] = dis[ x ] + cost[ i ];
flow[ to[ i ] ] = min( flow[ x ] , w[ i ] ) ;
pre[ to[ i ] ] = i; // 记录前驱，更新时使用
if (!v[ to[ i ] ])
v[ to[ i ] ] = true , q.push(to[ i ]) ;
}
}
}
if ( dis[t] == 0x3f3f3f3f ) return false; // 汇点不可达，已求出最大流
return true;
}
void update() {
int x = t;
while (x != s) {
int i = pre[ x ] ; //注意，我们的前缀记录的是边
w[ i ] -= flow[ t ] ;
w[ i ^ 1 ] += flow[ t ] ;
x = to[i ^ 1] ;
}
maxflow += flow[ t ] ;
ans += dis[ t ]*flow[ t ] ;//这里多解释一下，由于只扫出了一条増广路，不可能存在有像Dinic一样的流量分叉，加之流量守恒定律，所以这条増广路上增加的可行流量在每条边上都相等。
}
多种方案可满足最大流时TLE和WA代码片段
for( register int i = head[ x ] ; i ; i = nex[ i ] ){
if (!w[ i ]) continue; // 这一段只放了SPFA更新
int incflow = min( flow[ x ] , w[ i ] ) ;
if ( dis[ to[ i ] ] > dis[ x ] + cost[ i ]*incflow ){
dis[ to[ i ] ] = dis[ x ] + cost[ i ]*incflow;//这里是实际消费，而不是单价费用，请读者注意对比！！！
flow[ to[ i ] ] = incflow ;
pre[ to[ i ] ] = i;
if (!v[ to[ i ] ]) v[ to[ i ] ] = true , q.push(to[ i ]) ;
}
}
}//省略了部分相同代码
void update() {
int x = t;
while (x != s) {
int i = pre[ x ] ;
w[ i ] -= flow[ t ] ;
w[ i ^ 1 ] += flow[ t ] ;
x = to[i ^ 1] ;
}
maxflow += flow[ t ] ;
ans += dis[ t ] ;//这里的dis已经是实际消费。
}
在感性理解上，2个代码片段给读者的感觉是：好像都一样的呀？而且后者仿佛正确性格更显然啊。在我第一次看的时候，我百思不得其解。为了具体，给你一个样例，请读者不要跳过此节：
假设我现在有 8 的流量要流出，有且仅有两条可行边，都可以满流到达汇点，分别为
A边： 流量为 10 ， 单位费用为 2 。 满流全费 20
B边： 流量为 2 ， 单位费用为 4 。 满流全费 8
最优策略（AC代码）：全流A边 20费 。
感性策略（WA代码）：B 满流全费小于 A ， B费 8 ， A费16 ， 总费 26 。
感性策略的方法只满足了局部最优解（虽然可以保证最大流），而不能维护整体最优解。
这种情况只有在有多种方案可满足最大流时会中等几率（看数据）TLE或者WA。
完整AC代码：（改自李煜东的模板，这个板子亲测常数较小，码风清奇）
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int MAXN = 5010, MAXM = 100010 , OO = ( 1 << 30 ) ;
int to[ MAXM*2 ], w[ MAXM*2 ], cost[ MAXM*2 ], nex[ MAXM*2 ], head[ MAXN ];
int dis[ MAXN ] , flow[ MAXN ] , pre[ MAXN ] ;
int N , M , s , t , maxflow , ans, tot = 1 ;
bool v[ MAXN ] ;
inline int read(){
int s = 0,w = 1;
char g = getchar();
while(g<'0'||g>'9'){if(g=='-')w*=-1;g = getchar();}
while(g>='0'&&g<='9'){s = s*10+g-'0';g = getchar();}
return s*w;
}//(快读很丑，但费用流代码很好记)
void add(int x, int y, int z, int c) {
to[++tot] = y, w[tot] = z, cost[tot] = c;
nex[tot] = head[x], head[x] = tot;
to[++tot] = x, w[tot] = 0, cost[tot] = -c;
nex[tot] = head[y], head[y] = tot;
}
bool spfa() {
queue<int> q;
memset( dis , 0x3f3f3f3f , sizeof(dis) );
memset(v, 0, sizeof(v));
q.push(s); dis[ s ] = 0;
v[ s ] = true; //判断是否入队
flow[ s ] = OO ; // 源点无限量
while (q.size()) {
int x = q.front(); q.pop(); v[ x ] = false ;
for( register int i = head[ x ] ; i ; i = nex[ i ] ){
if (!w[ i ]) continue; // 剪枝
if ( dis[ to[ i ] ] > dis[ x ] + cost[ i ] ){
dis[ to[ i ] ] = dis[ x ] + cost[ i ];
flow[ to[ i ] ] = min( flow[ x ] , w[ i ] ) ;
pre[ to[ i ] ] = i; // 记录前驱，更新时使用
if (!v[ to[ i ] ])
v[ to[ i ] ] = true , q.push(to[ i ]) ;
}
}
}
if ( dis[t] == 0x3f3f3f3f ) return false; // 汇点不可达，已求出最大流
return true;
}
void update() {
int x = t;
while (x != s) {
int i = pre[ x ] ; //注意，我们的前缀记录的是边
w[ i ] -= flow[ t ] ;
w[ i ^ 1 ] += flow[ t ] ;
x = to[i ^ 1] ;
}
maxflow += flow[ t ] ;
ans += dis[ t ]*flow[ t ] ;
}
int main() {
freopen("minmax.in","r",stdin);
N = read() , M = read() , s = read() , t = read() ;
for( register int i = 1 ; i <= M ; i++ ){
int m1 = read() , m2 = read() , m3 = read() , m4 = read();
add( m1 , m2 , m3 , m4 ) ;
}
while (spfa()) update(); // 计算最小费用最大流
cout<< maxflow <<" "<<ans;
}
例题来自洛谷【模板】最小费用最大流。
3.一些关于费用流的技巧
无论是最大流还是费用流中，读题，抽象，建图，这才是最重要的，板子几乎不会变。
可以在二分图的升级版--带权二分图上愉快地跑网络流。
我们在很多时候都需要拆点操作，以达到限流或限费的目的。
我们在题目中会遇到很多要建立一些 0费的边，以此达到连接和其他的目的。
在【网络流初步详解3】中我还将讲解一些在有上下界的费用流的一些技巧。（暂时鸽了，因为本人太菜，可能不久后就会面临退役，所以会先巩固NOIP）
4.关于费用流的刷题指南
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