一、补码的优点
1、可以将减法转化为加法，在计算机中只保留加法
2、将符号位参与运算
二、如何实现？
我们先以钟表为例子，假设现在的标准时间为4点整，而有一个钟的时间为7点整。我们可以将时针逆时针旋转3格，或者将时针顺时针旋转9格，如图。
7-3=7+9=4 mod（12）
上述式子为一个同余式，同余式的标准定义为
a ≡b (mod n)
即同余式两边的数值，对n进行取余后的数值相等。
从上述例子我们可以得到灵感，即用一个正数来替代负数（上述例子中用9替代-3）从而将减法转化为加法。
在计算机中，我们应该如何进行这种替换？
我们应先明确一些概念，如原码表示，加法器的溢出，负数取余。
原码表示：最高位为符号位
正数：符号位为0，剩余的为数值
如用8位表示一个数，则+8为 0000 1000（2）
负数：符号位为1，剩余的为数值
如用8位表示一个数，则-8为 1000 1000（2）
采用原码来进行计算机的运算，将会非常复杂，因为将会有很多逻辑判断。
如两数相加时，同好则数值相加；不同号则相减，而且还要比较数值部分的绝对值的大小。
所以人们找到了补码的表示方法。
加法器的溢出：
假如一个加法器为8位的加法器，当和的值超过了 1111 1111（2），那么高位将被丢弃。
如 1111 1111（2）+ 1111 1111（2）= 1111 1110（2）
也就是说这个加法器只能表示0-255，即256为一个轮回，从我们的角度来看的话，这个加法器对结果进行取余，其模为256。
让我们推广到一般情况，n位加法器
xnxn-1……x0，即只能表示0-2n+1-1，即2n+1为一个轮回，从我们的角度来看的话，这个加法器对结果进行取余，其模为2n+1。
负数的取模：
我们应该先探讨一下负数的取模操作，我们知道取模公式如下所示：
x mod y = x - y* [x/y]
注：[x/y]为下取整符号
上边我们说到要用正数来取代负数从而达到，将减法转化为加法，那么应该怎么取代，关系式是怎么样的？
对于一般二进制数xnxn-1……x0进行探讨，从上边的讨论我们知道，对这个二进制数进行加减操作时，最终的结果都将进行模为2n+1的取余操作。我们假设这个二进制数值为[x]补，其代表的真值为x。
1、当xn为0时，[x]补=x，范围为0 - 2n-1；
2、当xn为1时，其代表的为负数x，我们知道这里应该用一个正数[x]补来取代负数x，并且使模为2n+1的同余式相等。
让我们先来讨论-1，-1对2n+1进行取余，即
-1 mod 2n+1 = -1 - 2n+1*(-1) = 2n+1 - 1
[2n+1 - 1]补 = -1
所以我们用2n+1 - 1替代-1
则对负数x为，
x mod 2n+1 = x - 2n+1*(-1) = 2n+1 + x
[2n+1 + x]补 = x
x的范围为-1至-2n
所以我们用2n+1 - 1替代x
至此我们就可以得出补码的公式了：
我们还要进行证明，用补码进行加法时是否正确。
即我们需要证明，
[x]补 + [y]补 = [x+y]补 （mod 2n+1）
这里有四种情况
1、x>0, y>0
[x]补 + [y]补 = x + y = [x+y]补 （mod 2n+1）
2、x>0, y<0
[x]补 + [y]补 = x + 2n+1 + y = 2n+1 + x + y = [x+y]补 （mod 2n+1）
3、x<0, y>0
[x]补 + [y]补 = 2n+1 + x + y = 2n+1 + x + y = [x+y]补 （mod 2n+1）
4、x<0, y<0
[x]补 + [y]补 = 2n+1 + x + 2n+1 + y = 2n+1 + 2n+1 + x + y = [x+y]补 （mod 2n+1）
综上，得证，补码可以将减法转换为加法，并将符号位参与运算。
注：从补码的公式可以看出还是需要做一次减法运算，所以这里用反码做过渡，先将原码变为反码，再将反码加1就得到了补码。