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三分法——求解凸性函数的极值问题——czyuan原创

二分法作为分治中最常见的方法，适用于单调函数，逼近求解某点的值。但当函数是凸性函数时，二分法就无法适用，这时三分法就可以“大显身手”～～

如图，类似二分的定义Left和Right，mid = (Left + Right) / 2，midmid = (mid + Right) / 2; 如果mid靠近极值点，则Right = midmid；否则(即midmid靠近极值点)，则Left = mid;

程序模版如下：

 1 double Calc(Type a)
 2 {
 3     /* 根据题目的意思计算 */
 4 }
 5 
 6 void Solve(void)
 7 {
 8     double Left, Right;
 9     double mid, midmid;
10     double mid_value, midmid_value;
11     Left = MIN; Right = MAX;
12     while (Left + EPS < Right)
13     {
14         mid = (Left + Right) / 2;
15         midmid = (mid + Right) / 2;
16         mid_area = Calc(mid);
17         midmid_area = Calc(midmid);
18         // 假设求解最大极值.
19         if (mid_area >= midmid_area) Right = midmid;
20         else Left = mid;
21     }
22 }

现根据几道的OJ题目来分析三分法的具体实现。

buaa 1033 Easy Problem
http://acm.buaa.edu.cn/oj/problem_show.php?c=0&p=1033

题意为在一条线段上找到一点，与给定的Ｐ点距离最小。很明显的凸性函数，用三分法来解决。
Calc函数即为求某点到P点的距离。

ZOJ 3203 Light Bulb
http://acm.zju.edu.cn/onlinejudge/showProblem.do?problemCode=3203

如图，人左右走动，求影子L的最长长度。
根据图，很容易发现当灯，人的头部和墙角成一条直线时(假设此时人站在A点)，此时的长度是影子全在地上的最长长度。当人再向右走时，影子开始投影到墙上，当人贴着墙，影子长度即为人的高度。所以当人从A点走到墙，函数是先递增再递减，为凸性函数，所以我们可以用三分法来求解。

下面只给出Calc函数，其他直接套模版即可。
double Calc(double x)
{
return (h * D - H * x) / (D - x) + x;
}

heru 5081 Turn the corner 08年哈尔滨regional网络赛
http://acm.hrbeu.edu.cn/index.php?act=problem&id=1280

汽车拐弯问题，给定X, Y, l, d判断是否能够拐弯。首先当X或者Y小于d，那么一定不能。
其次我们发现随着角度θ的增大，最大高度ｈ先增长后减小，即为凸性函数，可以用三分法来求解。

这里的Calc函数需要比较繁琐的推倒公式：
s = l * cos(θ) + w * sin(θ) - x;
h = s * tan(θ) + w * cos(θ);
其中s为汽车最右边的点离拐角的水平距离, h为里拐点最高的距离, θ范围从0到90。

POJ 3301 Texas Trip
http://acm.pku.edu.cn/JudgeOnline/problem?id=3301

题意为给定n(n <= 30)个点，求出饱含这些点的面积最小的正方形。

有两种解法，一种为逼近法，就是每次m分角度，求出最符合的角度，再继续m分，如此进行times次，即可求出较为精确的解。(m 大概取10, times取30即可)

第二种解法即为三分法，首先旋转的角度只要在0到180度即可，超过180度跟前面的相同的。坐标轴旋转后，坐标变换为：
X’ = x * cosa - y * sina;
y’ = y * cosa + x * sina;

至于这题的函数是否是凸性的，为什么是凸性的，我也无法给出准确的证明，希望哪位路过的大牛指点一下～～

例题更新(2010.5.5)
hdu 3400 Line belt
http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=3400
典型的三分法，先三分第一条线段，找到一个点，然后根据这个点再三分第二条线段即可，想出三分的思路基本就可以过了。

对于求解一些实际问题，当公式难以推导出来时，二分、三分法可以较为精确地求解出一些临界值，且效率也是令人满意的。

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