学图形学不懂线代，好像骑单车没有轱辘，虽然能扛着单车走，但是没有骑在上面舒服，也没骑在上面快。所以开启这一个系列，一个是用作自己复习，一个是当作扫盲吧，如果再有人问我线代的问题，直接发个博客链接给他，不用那么麻烦解释啦~人类都逃不过懒*。*
线性代数研究有限维向量空间上的线性映射。看不懂不用担心，后面就懂了。
我们首先介绍一些基本的概念。首先是高中学过的复数：
实数是什么我想大家都知道，高中做作业，x∈R没有写上过300遍不敢说自己上过高中。
复数是一个有序对（a,b）,a,b∈R,一般写作a+bi，所有复数构成的集合记为C，相对于实数的R。
复数的基本性质 i 2 = -1
复数的加法：
(a+bi) + (c+di) = (a+c)+(b+d)i a,b,c,d∈R
复数的乘法：
(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i a,b,c,d∈R
那么复数和实数之间是什么关系呢？通俗理解，一个有i项的式子就是复数，但是如果i项的系数为0呢，即a+0i = a，a∈R，此时这个复数就变成了一个实数，由此来看，复数形式可以表示实数，即实数是复数的一个子集。
复数的算数性质：(交换律，分配律，结合律都满足)
若x，y，z∈C，则有x + y = y + x, xy = yx, ( x + y) + z = x + (y + z), (xy)z = x(yz) , x+0=x , x*1=x , x(y+z) = xy+xz.
对于x,y∈C，x有唯一的y使得x+y=0。
标量和向量：
因为R包含于C，所以C满足的性质自然可以推广到R。C中的每一个元素被成为标量，即1，2，3+4i等等都是标量。
在介绍向量之前，先介绍“组”：组的形式如下
（x1,x2,……xn）,n为正整数。那么我们称这个组长度为n。如果两个组相等，必须满足长度相等并且组中的每一个元素顺序和值都相等。
我们将上述组中的元素x扩展到复数，即x∈C，用Cn表示{（x1,x2,……xn），（y1,y2,……yn）,……}这个集合，n代表的是组的长度。比如C4就代表所有（x,y,z,w）可能的值，其中x,y,z,w∈C。也就是说Cn是所有长度为n的组的集合。
那么组的运算性质是怎样的呢？设x，y∈Cn,则有 x + y = y + x，组的0定义为（0，0，......，0）。介绍了这么多，其实最后就是想说，向量就是组。之所以要引入组这个概念是为了不要一提到向量就想（x,y）或者（x,y,z），向量是有更高维度的。在低维度向量的一些性质在高维度依然适用：
1.向量只有方向和长度，没有位置。
2.向量的标量加法（x1,x2,……xn）+（y1,y2,……yn） = （x1+y1,x2+y2,……xn+yn）
2.向量的标量乘法 k(x1,x2,……xn）= （kx1,kx2,……kxn）,k∈C,（x1,x2,……xn）∈Cn
向量空间的定义：
首先我们目前讨论的范围是C，即复数，此时我们将我们的研究对象推广到任意域，即另一个比C大的包含更广的集合，这是一个抽象的概念，我们假定他是存在的。那么我们接下来的讨论对象就是任意域F而不是复数域C。
那么此时我们来看向量空间的定义：向量空间就是带有加法和标量乘法的集合V，满足如下性质：
u+v = v+u,uv∈V （交换律）
(u+v)+w = u+(v+w) ab(v) = a(bv) 其中，u,v,w∈V，a,b∈F （结合律）
存在元素0∈V使得对所有v∈V都有v+0 = v（加法单位元）
对所有v∈V都有1v=v（乘法单位元）
对每个v∈V都存在w∈V使得v+w=0（加法逆元）
对所有a,b∈F，u,v∈V都有a(u+v) = au+av, (a+b)v = av+bv。（分配律）
向量空间中的元素被成为向量或点。R上的向量空间被称为实向量空间，C上的向量空间被称为复向量空间。
子空间：
如果V的子集U也是向量空间，则U是V的子空间。子空间的条件：
1）加法单位元：0∈U
2）加法封闭性：u+w∈U，u,w∈U
3）标量乘法封闭性：a∈F和u∈U蕴含au∈U
子空间的和：
设U1,...Um都是V的子空间，则U1,...Um的和定义为U1,...Um中元素所有可能的和所构成的集合。即
U1+U2+......+Um = { u1+u2+......+um | u1∈U1,u2∈U2,......um∈Um }
直和：
设U1,...Um都是V的子空间，则U1+......+Um的每一个元素可写为：u1+......+um 的形式。其中每个uj∈Uj ,如果U1+......+Um 中每个向量都可以唯一的表示成上述形式的情形，则成这个子空间的和为直和，记作U1 ⊕......⊕Um
直和的条件：当且仅当0表示成 u1+u2+......+um （其中每个uj∈Uj）的唯一方式是每个uj都等于0.
两个子空间的直和 U+W 当且仅当 U∩W = {0}.