『数论』乘法逆元

在求解除法取模问题((a div b) mod m)时，我们可以转化为([a mod (b imes m)]div b)

但是如果(b)很大，则会出现爆精度问题，所以我们避免使用除法直接计算。

可以使用逆元将除法转换为乘法：假设(b)存在乘法逆元，即与(m)互质（充要条件）。

设(c)是(b)的逆元，即(b imes c≡1(mod m))

那么有(adiv b=(adiv b) imes 1=(adiv b) imes b imes c=a imes c(mod m))

即除以一个数取模等于乘以这个数的逆元取模

逆元求解一般利用扩欧。
当(m)为质数的时候直接使用费马小定理，(m)非质数使用欧拉函数。
当(m)为质数的时候，神奇的线性方法。

扩展欧几里得算法

要求(a,m)互素，存在唯一解。

int extgcd(int a, int b, int &x, int &y) {
    int d=a;
    if (b!=0) {
        d=extgcd(b,a%b,y,x);
        y-=(a/b)*x;
    }
    else {
        x=1;
        y=0;
    }
    return d;
}
int mod_inverse(int a, int m) {
    int x, y;
    extgcd(a, m, x, y);
    return (m+x%m)%m;
}

费马小定理

在(p)是素数的情况下，对任意整数(x)都有(x^{p}≡x(mod p))。

如果(x)无法被(p)整除，则有(x^{p}-1≡1(mod p))。

可以在(p)为素数的情况下求出一个数的逆元，(x imes x^{p}-2≡1(mod p))，(x^{p}-2)即为(x)的逆元。

LL mul(LL a, LL n) {//求a ^ n % mod
    LL s=1;
    while (n) {
        if (n&1) s=s*a%mod;
        a=a*a%mod;
        n>>=1;
    }
    return s;
}
//mul(a, n-2);

欧拉函数

令(phi(m))表示小于等于(m)且与(m)互素的正整数的个数。

如果(x)和(m)互质，则有(xphi (m)≡1(mod m))，即(x imes xphi (m)-1≡1(mod m))，(x^{phi(m)-1})为(x)的逆元。

在(m)为质数的情况下，(phi (m)=m-1)，即为费马小定理。

思路：

求出欧拉函数的值，利用欧拉函数的积性性质：

对于任意整数(n)，可以将它分解(n=p_{k1} imes p_{k2} imes p_{k3} imes cdots imes p_{km})，其中(p_{i})为质数，(phi(n)=phi(p_{k1}) imes phi(p_{k2}) imes cdots phi(p_{km}))

最后转化为(phi(n)=n imes prod(p_{i}-1) div p_{i})

对给定(n)进行整数分解，时间复杂度(O(n))。

int eurler_phi(int n) {
    int res=n;
    for (int i=2; i*i<=n; i++) {
        if (n%i==0) {
            res=res/i*(i-1);
            while (n%i==0) n/=i;
        }
    }
    if (n!=1) res=res/n*(n-1);
    return res;
}

埃氏筛法求欧拉函数值的表，每次发现质因子就把他的倍数的欧拉函数乘上((p-1) imes p)。

当(n)为奇数时，有(phi(2 imes n)=phi(n))

因为(2 imes n)是偶数，偶数与偶数一定不互素，所以只考虑(2n) 与小于它的奇数互素的情况，则恰好就等于(n)的欧拉函数值。

int euler[maxn];
void euler_phi2() {
    for (int i=0; i<maxn; i++)
        euler[i]=i;
    for (int i=2; i<maxn; i++)
        if (euler[i]==i)
            for (int j=i; j<maxn; j+=i)
                euler[j]=euler[j]/i*(i-1);
}

线性时间求所有逆元

规定(p)为质数，且(1^{-1}≡1(mod p))

设(p=k imes a+b(b<a,1<a<p))，即(k imes a+b≡0(mod p))

两边同时乘以(a^{-1} imes b^{-1})，得到

(k imes b^{-1}+a^{-1}≡0(mod p))

(a^{-1}≡-k imes b-1(mod p))

(a^{-1}≡-pdiv a×(pmod a)^{-1}(mod p))

从头开始扫一遍即可，时间复杂度(O(n))。

int inv[maxn];
inv[1]=1;
for (int i=2; i<maxn; i++)
    inv[i]=(p-p/i)%p*inv[p%i];