三分搜索

一. 概念

在二分查找的基础上，在右区间（或左区间）再进行一次二分，这样的查找算法称为三分查找，也就是三分法。

三分查找通常用来迅速确定最值。

二分查找所面向的搜索序列的要求是：具有单调性（不一定严格单调）；没有单调性的序列不是使用二分查找。

与二分查找不同的是，三分法所面向的搜索序列的要求是：序列为一个凸性函数。通俗来讲，就是该序列必须有一个最大值（或最小值），在最大值（最小值）的左侧序列，必须满足不严格单调递增（递减），右侧序列必须满足不严格单调递减（递增）。如下图，表示一个有最大值的凸性函数：

二、算法过程

（1）、与二分法类似，先取整个区间的中间值mid。

1 mid = (left + right) / 2;

（2）、再取右侧区间的中间值midmid，从而把区间分为三个小区间。

1 midmid = (mid + right) / 2;

（3）、我们mid比midmid更靠近最值，我们就舍弃右区间，否则我们舍弃左区间？。

比较mid与midmid谁最靠近最值，只需要确定mid所在的函数值与midmid所在的函数值的大小。当最值为最大值时，mid与midmid中较大的那个自然更为靠近最值。最值为最小值时同理。

1 if (cal(mid) > cal(midmid))  
2     right = midmid;  
3 else  
4     left = mid;

（4）、重复（1）（2）（3）直至找到最值。

算法的正确性：

1、mid与midmid在最值的同一侧。由于凸性函数在最大值（最小值）任意一侧都具有单调性，因此，mid与midmid中，更大（小）的那个数自然更为靠近最值。此时，我们远离最值的那个区间不可能包含最值，因此可以舍弃。

2、mid与midmid在最值的两侧。由于最值在中间的一个区间，因此我们舍弃一个区间后，并不会影响到最值

算法模板：

 1 double cal(Type a)
 2 {
 3     /* 根据题目的意思设计方程计算 */
 4 }
 5 
 6 void Solve(void)
 7 {
 8     double Left, Right;
 9     double mid, midmid;
10     double mid_value, midmid_value;
11     Left = MIN; Right = MAX;
12     while (Left + EPS < Right)
13     {
14         mid = (Left + Right) / 2;
15         midmid = (mid + Right) / 2;
16         mid_value = cal(mid);
17         midmid_value = cal(midmid);
18         // 假设求解最大极值.
19         if (mid_value > midmid_value) Right = midmid;
20         else Left = mid;
21     }
22 }