2154: Crash的数字表格

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Description

今天的数学课上，Crash小朋友学习了最小公倍数(Least Common Multiple)。对于两个正整数a和b，LCM(a, b)表示能同时被a和b整除的最小正整数。例如，LCM(6, 8) = 24。回到家后，Crash还在想着课上学的东西，为了研究最小公倍数，他画了一张N*M的表格。每个格子里写了一个数字，其中第i行第j列的那个格子里写着数为LCM(i, j)。一个4*5的表格如下： 1 2 3 4 5 2 2 6 4 10 3 6 3 12 15 4 4 12 4 20 看着这个表格，Crash想到了很多可以思考的问题。不过他最想解决的问题却是一个十分简单的问题：这个表格中所有数的和是多少。当N和M很大时，Crash就束手无策了，因此他找到了聪明的你用程序帮他解决这个问题。由于最终结果可能会很大，Crash只想知道表格里所有数的和mod 20101009的值。

Input

输入的第一行包含两个正整数，分别表示N和M。

Output

输出一个正整数，表示表格中所有数的和mod 20101009的值。

Sample Input

4 5
　

Sample Output

122
【数据规模和约定】
100%的数据满足N, M ≤ 10^7。
　

HINT

Source

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由题意列式：

最终化简：

令（显然f(D)是积性函数）

#include<cstdio>
#include<iostream>
#define mod 20101009
#define inv_4 15075757
using namespace std;
const int N=1e7+5;
int n,m,tot,ans,prime[N/3],f[N],s[N],sum[N];bool check[N];
void prepare(){
    f[1]=1;
    for(int i=2;i<=n;i++){
        if(!check[i]) prime[++tot]=i,f[i]=1-i;
        for(int j=1;j<=tot&&i*prime[j]<=n;j++){
            check[i*prime[j]]=1;
            if(!(i%prime[j])){f[i*prime[j]]=f[i];break;}
            else f[i*prime[j]]=f[i]*f[prime[j]]%mod;
        }
    }
    for(int i=1;i<=n;i++) sum[i]=(1LL*sum[i-1]+1LL*f[i]*i)%mod;
}
void solve(){
    for(int i=1;i<=n;i++) s[i]=(1LL*i*(i+1))%mod;
    for(int i=1,pos;i<=m;i=pos+1){
        pos=min(n/(n/i),m/(m/i));
        ans=(1LL*ans+(1LL*s[n/i]*s[m/i])%mod*(1LL*(sum[pos]-sum[i-1]))%mod+mod)%mod;
    }
    ans=1LL*ans*inv_4%mod;
    printf("%d
",ans);
}
int main(){
    scanf("%d%d",&n,&m);
    if(n<m) swap(n,m);
    prepare();
    solve();
    return 0;
}