[CTSC2001]1378 选课

题目描述

学校实行学分制。每门的必修课都有固定的学分，同时还必须获得相应的选修课程学分。学校开设了N（N<300）门的选修课程，每个学生可选课程的数量M是给定的。学生选修了这M门课并考核通过就能获得相应的学分。

　　在选修课程中，有些课程可以直接选修，有些课程需要一定的基础知识，必须在选了其它的一些课程的基础上才能选修。例如《Frontpage》必须在选修了《Windows操作基础》之后才能选修。我们称《Windows操作基础》是《Frontpage》的先修课。每门课的直接先修课最多只有一门。两门课也可能存在相同的先修课。每门课都有一个课号，依次为1，2，3，…。例如:

【详见图片】
表中1是2的先修课，2是3、4的先修课。如果要选3，那么1和2都一定已被选修过。　　你的任务是为自己确定一个选课方案，使得你能得到的学分最多，并且必须满足先修课优先的原则。假定课程之间不存在时间上的冲突。

输入输出格式

输入格式：

第一行有两个整数N,M用空格隔开。(1<=N<=200,1<=M<=150)

接下来的N行,第I+1行包含两个整数ki和si, ki表示第I门课的直接先修课，si表示第I门课的学分。若ki=0表示没有直接先修课（1<=ki<=N, 1<=si<=20）。

输出格式：

只有一行，选M门课程的最大得分。

输入输出样例

输入样例#1：

输出样例#1：

数据范围及提示 Data Size & Hint

各个测试点1s

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动态规划

典型的树形背包（dp），希望读者能够认真理解并掌握。

分析：

根据题目描述我们可以知道这是个树形动规问题，但由于一个点可以有多个儿子，很难写出方程，所以我们想到将森林转二叉，之后再去做。

这里先补充一下多叉转二叉的知识，其规则是左儿子，右兄弟，即左子树上的都是儿子节点，右子树上的都是兄弟节点。这道题是森林，我们只需要虚拟零节点即可。我们要搜索的根就是f[0].left;

转化为二叉树之后，我们很容易就能写出方程f[i,j]表示以i为根的树，选了j门课能够得到的最大学分。

f[i,j]:=max{f[tree[i].left,k]+f[tree[i].right,j-1-k]+a[i],f[tree[i].right,j]}只和当前这门课选不选有关，这是很显然的，完全根据我们转换出的二叉树的定义和题目要求得来。

AC代码：

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<iostream>
using namespace std;
#define N 1010
int n,m,f[N][N];
struct node{
    int l,r,num;
}tree[N];
void init(){
    scanf("%d%d",&n,&m);
    for(int i=1,x;i<=n;i++){
        scanf("%d%d",&x,&tree[i].num);
        if(!tree[x].l) tree[x].l=i;
        else{
            int t=tree[x].l;
            while(tree[t].r) t=tree[t].r;
            tree[t].r=i; 
        } 
    }
}
int dfs(int i,int m){
    int tmp1,tmp2;
    if(f[i][m]!=-1) return f[i][m];
    if(!i||!m) return f[i][m]=0;
    tmp1=dfs(tree[i].r,m);
    for(int j=0;j<m;j++){
        tmp2=dfs(tree[i].l,j)+dfs(tree[i].r,m-j-1)+tree[i].num;
        if(tmp1<tmp2) tmp1=tmp2;
    }
    return f[i][m]=tmp1;
}
int main(){
    memset(f,-1,sizeof f);
    init();
    printf("%d
",dfs(tree[0].l,m));
    return 0;
}

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华丽的分割线

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反思：

在树的儿子很多，很难处理时候，我们可以考虑多叉转二叉，或者森林转二叉。简化方程，只和当前节点选或者不选有关。特别注意，这样转的话会加大树的深度，也就是我们压栈的次数，数据范围极大时慎用。

记忆化搜索是解决树归的利器，注意记忆化搜索的框架，和打法。一定要注意细节。在函数中应有当前状态是否已知的判断，边界条件的处理（注意给数组赋值），根据方程枚举状态找最优，最后将求出的最优赋到数组中再返回值。