“知乎杯”2018 CCF 大学生计算机系统与程序设计竞赛贪心算法（greedy）

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贪心算法

1）题解

• 分别用V₀、V₁和V_>=2表示度为0、1以及至少为2的顶点集合

• 对于每个顶点，维护三个属性：

• degree 邻居的个数

• degree₂ 邻居中度为2的顶点数

• id 编号

Pseudo-code

• initialize V₀, V₁, V_>=2and (degree, degree₂, id) of each node

• while G is not empty

• if V₀ is not empty

• choose v ∈ V₀ with the smallest id

• output v, delete v from V₀ and G

• else if V1 is not empty

• choose v ∈ V₁ with the smallest id, and find the neighbor u of v

• output v, delete v from V₀ and G, delete u from V₁(or V_>=2) and G

• else

• choose v ∈ V_>=2 with the largest (degree, degree₂, id)

• delete v from V_>=2 and G

索引的维护

• 需要注意的是，每个顶点的属性以及顶点集合V₀、V₁和V_>=2并非一成不变。

• 当从图中删去某个顶点u时，u邻居的degree均会减一；如果u的degree恰好为2，那么u邻居的degree₂也会减一。

• 如果某个邻居v的degree恰好从3减少到2或从2减到1，那么还会进一步影响到v的邻居的degree₂属性。

• 对于那些degree减一的顶点，还需要相应地更新V₀、V₁和V_>=2。

Delete Node u from G

• for v ∈ Neighbor(u)

• v.degree decreases by one

• if u.degree == 2 then v.degree₂ decreases by one

• if v.degree == 0

• move v from V₁ to V₀

• else if v.degree == 1

• move v from V_>=2 to V₁

• find the only neighbor w of v

• w.degree₂ decreases by one

• else if v.degree == 2

• for w ∈ Neighbor(v) do w.degree₂ increases by one

2）复杂度分析

V₀和V₁{node_id}

• 插入、删除顶点，但每个顶点最多一次；

• 查询id最小的顶点。

• 顶点数量O(N)

• 插入删除操作次数O(N)

• 查询最值次数O(N)

V_>=2 {<node_id, value>}

• 初始化之后不会再插入顶点；

• 删除顶点，每个最多一次；

• 查询属性值最大的顶点；

• 修改一个点的属性值。

• 顶点数量O(N)

• 删除操作次数O(N)

• 查询最值次数O(N)

• 修改属性次数O(M)

3）可以使用的数据结构

• 堆、线段树、平衡树等等……

• 增、删、改、查都可以在O(logN)复杂度内完成

• 时间复杂度：O((N+M)logN)

• 懒得敲一个的话就用经济实惠的priority_queue好了。虽然不能直接进行删除或修改，但可以用懒更新的方式解决。即等到取用最值的时候，再判断该顶点是否已经被删除或属性已经被修改过了。

#include<queue>
#include<cstdio>
const int N=1e5+5;
const int M=N*10;
template <typename T>
inline void read(T &x){
    T f=1;char ch=getchar();x=0;
    while(ch<'0'||ch>'9'){if(ch=='-')f=-1;ch=getchar();}
    while(ch>='0'&&ch<='9'){x=x*10+ch-'0';ch=getchar();}
    x*=f;
}
struct node{
    int id,degree,nxt2;
    node(int id=0,int degree=0,int nxt2=0):id(id),degree(degree),nxt2(nxt2){}
    bool operator <(const node &a){   // id < nxt2 < degree
        return degree!=a.degree?degree<a.degree:nxt2!=a.nxt2?nxt2<a.nxt2:id<a.id;
    }
}b[N];
template<class nodeT> 
struct segtree{
    int n;nodeT* a;
    segtree(){}
    segtree(int _n,const nodeT* b):n(_n){
        a=new nodeT[n<<2|1];
        build(1,1,n,b);
    }
#define lch k<<1
#define rch k<<1|1
#define max(a,b) ((a)<(b)?b:a)
    inline void updata(int k){
        a[k]=max(a[lch],a[rch]);
    }
    void build(int k,int l,int r,const nodeT* b){
        if(l==r){
            a[k]=b[l];
            return ;
        }
        int mid=l+r>>1;
        build(lch,l,mid,b);
        build(rch,mid+1,r,b);
        updata(k);
    }
    void change(int k,int l,int r,int p,const nodeT &v){
        if(l==r){
            a[k]=v;
            return ;
        }
        int mid=l+r>>1;
        if(p<=mid) change(lch,l,mid,p,v);
        else change(rch,mid+1,r,p,v);
        updata(k);
    }
    inline void change(int p,const nodeT &v){
        change(1,1,n,p,v);
    }
    inline void del(int p){
        nodeT t(-1,-1,-1);
        change(1,1,n,p,t);
    }
    inline nodeT& query(){
        return a[1];
    }
#undef lch
#undef rch
#undef max(a,b)
};
int cnt,ans[N];
int n,m,tot,to[M],next[M],head[N],degree[N];int del[N];
std::priority_queue<int,std::vector<int>,std::greater<int> >q0,q1;
inline void add(int x,int y){
    to[++tot]=y;next[tot]=head[x];head[x]=tot;
}
inline void addedge(int x,int y){
    add(x,y);degree[x]++;
    add(y,x);degree[y]++;
}
inline void Erase(int u,segtree<node> &tree){
    del[u]=1;
    tree.del(u);
    for(int j=head[u],v;j;j=next[j]){
        if(del[v=to[j]]) continue;
        b[v].degree--;
        if(b[u].degree==2) b[v].nxt2--;
        tree.change(v,b[v]);
        if(b[v].degree==2||b[v].degree==1){
            for(int k=head[v],w;k;k=next[k]){
                if(del[w=to[k]]) continue;
                b[w].nxt2+=b[v].degree*2-3;
                tree.change(w,b[w]);
            }
        }
        if(b[v].degree==0) q0.push(v);
        if(b[v].degree==1) q1.push(v);
    }
}
inline void Init(){
    read(n);read(m);
    for(int i=1,x,y;i<=m;i++) read(x),read(y),addedge(x,y);
}
inline void Solve(){
    for(int i=1;i<=n;i++) b[i].id=i,b[i].degree=degree[i],b[i].nxt2=0;
    for(int i=1;i<=n;i++){
        if(degree[i]==2){
            for(int j=head[i];j;j=next[j]){
                b[to[j]].nxt2++;
            }
        }
    }
    segtree<node> tree(n,b);
    for(int i=1;i<=n;i++){
        if(!degree[i]){
            del[i]=1;
            tree.del(i);
            ans[++cnt]=i;
        }else if(degree[i]==1) q1.push(i);
    }
    for(int u,v;;){
        if(!q0.empty()){
            u=q0.top();q0.pop();
            if(del[u]) continue;
            del[u]=1;
            tree.del(u);
            ans[++cnt]=u;
        }
        else if(!q1.empty()){
            u=q1.top();q1.pop();
            if(del[u]) continue;
            for(int i=head[u];i;i=next[i]) if(!del[v=to[i]]) break;
            Erase(u,tree);
            Erase(v,tree);
            ans[++cnt]=u;
        }
        else{
            int tid=tree.query().id;
            if(~tid) Erase(tid,tree);else break;
        }
    }
    for(int i=1;i<=cnt;i++) printf("%d
",ans[i]);
}
int main(){
    freopen("greedy.in","r",stdin);
    freopen("greedy.out","w",stdout);
    Init();
    Solve();
    return 0;
}

“知乎杯”2018 CCF 大学生计算机系统与程序设计竞赛 贪心算法（greedy）