softmax函数理解

https://www.zhihu.com/question/23765351

因为这里不太方便编辑公式，所以很多公式推导的细节都已经略去了，如果对相关数学表述感兴趣的话，请戳这里的链接Softmax的理解与应用 - superCally的专栏 - 博客频道 - http://CSDN.NET

----------

Softmax在机器学习中有非常广泛的应用，但是刚刚接触机器学习的人可能对Softmax的特点以及好处并不理解，其实你了解了以后就会发现，Softmax计算简单，效果显著，非常好用。

我们先来直观看一下，Softmax究竟是什么意思

我们知道max，假如说我有两个数，a和b，并且a>b，如果取max，那么就直接取a，没有第二种可能

但有的时候我不想这样，因为这样会造成分值小的那个饥饿。所以我希望分值大的那一项经常取到，分值小的那一项也偶尔可以取到，那么我用softmax就可以了现在还是a和b，a>b，如果我们取按照softmax来计算取a和b的概率，那a的softmax值大于b的，所以a会经常取到，而b也会偶尔取到，概率跟它们本来的大小有关。所以说不是max，而是 Soft max 那各自的概率究竟是多少呢，我们下面就来具体看一下

定义

假设我们有一个数组，V，Vi表示V中的第i个元素，那么这个元素的Softmax值就是

$S_i = frac{e^{V_i}}{sum_j{e^{V_j}}}$

也就是说，是该元素的指数，与所有元素指数和的比值

这个定义可以说非常的直观，当然除了直观朴素好理解以外，它还有更多的优点

1.计算与标注样本的差距

在神经网络的计算当中，我们经常需要计算按照神经网络的正向传播计算的分数S1，和按照正确标注计算的分数S2，之间的差距，计算Loss，才能应用反向传播。Loss定义为交叉熵

$L_i=-log(frac{e^{f_{y_i}}}{sum_j{e^j}})$

取log里面的值就是这组数据正确分类的Softmax值，它占的比重越大，这个样本的Loss也就越小，这种定义符合我们的要求

2.计算上非常非常的方便

当我们对分类的Loss进行改进的时候，我们要通过梯度下降，每次优化一个step大小的梯度

我们定义选到yi的概率是

$P_{y_i}=frac{e^{f_{y_i}}}{sum_j{e^j}}$

然后我们求Loss对每个权重矩阵的偏导，应用链式法则（中间推导省略）。

$frac{partial{L_i}}{partial{f_{y_i}}}=frac{partial(-ln(frac{e^{f_{y_{i}}}}{sum_{j}e^{{j}}}))}{partial{f_{y_i}}}=P_{f_{y_i}}-1$

最后结果的形式非常的简单，只要将算出来的概率的向量对应的真正结果的那一维减1，就可以了

举个例子，通过若干层的计算，最后得到的某个训练样本的向量的分数是[ 1, 5, 3 ], 那么概率分别就是[0.015,0.866,0.117],如果这个样本正确的分类是第二个的话，那么计算出来的偏导就是[0.015,0.866−1,0.117]=[0.015,−0.134,0.117]，是不是很简单！！然后再根据这个进行back propagation就可以了