3、四叶草魔杖3809
(magic.cpp/pas)
【问题描述】
魔杖护法Freda融合了四件武器，于是魔杖顶端缓缓地生出了一棵四叶草，四片叶子幻发着淡淡的七色光。圣剑护法rainbow取出了一个圆盘，圆盘上镶嵌着N颗宝石，编号为0~N-1。第i颗宝石的能量是Ai。如果Ai>0，表示这颗宝石能量过高，需要把Ai的能量传给其它宝石；如果Ai<0，表示这颗宝石的能量过低，需要从其它宝石处获取-Ai的能量。保证∑Ai=0。只有当所有宝石的能量均相同时，把四叶草魔杖插入圆盘中央，才能开启超自然之界的通道。
不过，只有M对宝石之间可以互相传递能量，其中第i对宝石之间无论传递多少能量，都要花费Ti的代价。探险队员们想知道，最少需要花费多少代价才能使所有宝石的能量都相同？
【输入】
第一行两个整数N、M。
第二行N 个整数Ai。
接下来M行每行三个整数pi,qi,Ti，表示在编号为pi和qi的宝石之间传递能量需要花费Ti的代价。数据保证每对pi、qi最多出现一次。
【输出】
输出一个整数表示答案。无解输出Impossible。
【输入样例】
3 3
50 -20 -30
0 1 10
1 2 20
0 2 100
【输出样例】
30
【数据规模】
对于50%的数据，2<=N<=8。
对于100%的数据，2<=N<=16，0<=M<=N*(N-1)/2，0<=pi,qi<n，-1000<=ai<=1000，
0<=Ti<=1000，∑Ai=0。
【分析】树形DP
动态规划、最小生成树、状态压缩
1.找出所有能量和为0的集合。
若该集合的点是联通的，那么求出该集合的最小生成树，生成树的值即是该集合能量转移所需最小代价
2.将每一和为0的集合看成是一个物品，利用背包动规求出最优解。
具体做法是：
用二进制来压缩状态，1代表节点在集合中，0代表不在。
比如数字s的二进制形式为100111，表明0,1,2,5号节点在s表示的集合中。
题目最多有n(n<=16)个节点，因此s的范围是0到(2^n)-1 也就是(1<<n)-1
用数组Sum[s]，记录集合s中包含的节点的能量之和。
对于每一个能量和为0的集合x(Sum[x]==0)，若能得到一棵最小生成树，用数组Cost[x]记录下该生成树的代价
f[i]记录平衡集合i中的节点的能量值，所需最小代价
对于集合i和j,若满足Sum[i]==true且Sum[j]==true
那么有f[i|j]=min(f[i|j],f[i]+Cost[j]);
i|j表示集合i与集合j合并之后的集合
code：
1 #include<iostream> 2 #include<cstdio> 3 #include<algorithm> 4 #include<cstring> 5 #define N 1000006 6 using namespace std; 7 struct node { 8 int u,v,w; 9 } e[N]; 10 int dp[N],f[N],a[N],fa[N]; 11 int cnt; 12 void add(int u,int v,int w) { 13 e[++cnt].u=u; 14 e[cnt].v=v; 15 e[cnt].w=w; 16 } 17 bool cmp(const node&a,const node&b) { 18 return a.w<b.w; 19 } 20 int n,m; 21 int find(int x){if(x!=fa[x])return fa[x]=find(fa[x]);return fa[x];} 22 void merge(int x,int y){int f1=find(x),f2=find(y);if(f1!=f2)fa[f1]=f2;} 23 int kruskal(int S) { 24 int ans=0,cnt_=0; 25 int all=0; 26 for(int i=1; i<=n; i++)if((S>>(i-1))&1)all++; 27 for(int i=1; i<=m; i++) { 28 // cout<<e[i].u<<" "<<e[i].v<<' '; 29 if(((S>>(e[i].u-1))&1)&&((S>>(e[i].v-1))&1)) { 30 int u=e[i].u,v=e[i].v; 31 if(find(u)!=find(v)) { 32 merge(u,v); 33 ans+=e[i].w; 34 cnt_++; 35 if(cnt_==all-1)return ans; 36 } 37 } 38 } 39 return ans; 40 } 41 int main() { 42 cin>>n>>m; 43 for(int i=1; i<=n; i++)cin>>a[i]; 44 for(int i=1; i<=m; i++) { 45 int u,v,w; 46 cin>>u>>v>>w; 47 u++,v++; 48 add(v,u,w); 49 } 50 sort(e+1,e+cnt+1,cmp); 51 int all=(1<<n)-1; 52 for(int i=0; i<=all; i++) { 53 int sum=0; 54 for(int j=1; j<=n; j++) { 55 if((i>>(j-1))&1) { 56 sum+=a[j]; 57 fa[j]=j; 58 } 59 } 60 if(sum)continue; 61 f[i]=kruskal(i); 62 } 63 memset(dp,0x3f3f3f3f,sizeof dp); 64 dp[0]=0; 65 for(int i=1;i<=all;i++){ 66 if(f[i]==0)continue; 67 for(int j=all;j>=0;j--){ 68 if((i&j)==i){ 69 dp[j]=min(dp[j],dp[j&(~i)]+f[i]); 70 } 71 } 72 } 73 if(dp[all]==0x3f3f3f3f){ 74 cout<<"Impossible"; 75 return 0; 76 } 77 else cout<<dp[all]; 78 return 0; 79 }
over