同余关系等价关系同余关系的原型

小结：

1、同余关系或简称同余是相容于某个代数运算的等价关系。

https://baike.baidu.com/item/同余关系

https://en.wikipedia.org/wiki/Congruence_relation

https://en.wikipedia.org/wiki/Equivalence_relation

https://baike.baidu.com/item/等价关系

等价关系定义为：设R是非空集合A上的二元关系，若R是自反的、对称的、传递的，则称R是A上的等价关系。研究等价关系的目的在于将集合中的元素进行分类，选取每类的代表元素来降低问题的复杂度，如软件测试时，可利用等价类来选择测试用例。

定义1

设 R 是集合 A 上的一个二元关系，若R满足：

自反性：∀ a ∈A, => (a, a) ∈ R

对称性：(a, b) ∈R∧ a ≠ b => (b, a)∈R

传递性：(a, b)∈R,(b, c)∈R =>(a, c)∈R

则称R是定义在A上的一个等价关系。设R是一个等价关系，若(a, b) ∈ R，则称a等价于b，记作 a ~ b 。

例一：

同班同学关系、同乡关系是等价关系。

平面几何中三角形间的相似关系、全等关系都是等价关系。

平面几何中直线间的平行关系是等价关系。

例二：

设A = {1, 4, 7}，定义A上的关系R如下：

R = { (a, b) | a, b ∈ A∧a ≡ b mod 3 }

其中a ≡ b mod 3叫做 a 与 b 模 3 同余，即 a 除以 3 的余数与 b 除以 3 的余数相等。不难验证 R 为 A 上的等价关系。

设 f 是从 A 到 B 的一个函数，定义 A 上的关系 R ：aRb，当且仅当f(a) = f(b)，R 是 A 上的等价关系。

同余关系的原型

The prototypical example of a congruence relation is congruence modulo $n$ on the set of integers. For a given positive integer $n$

a equiv b pmod{n}

if $a-b$

for example, $37$

37equiv 57{pmod {10}}

since $37-57=-20$

Congruence modulo $n$

{displaystyle a_{1}equiv a_{2}{pmod {n}}}

then

{displaystyle a_{1}+b_{1}equiv a_{2}+b_{2}{pmod {n}}}

The corresponding addition and multiplication of equivalence classes is known as modular arithmetic. From the point of view of abstract algebra, congruence modulo $n$

元型例子是模算术：对于一个正整数n，两个整数a和b被称为同余模n，如果a − b整除于n（还有一个等价的条件是它们除以n得出同样的余数）。

例如，5和11同余模3：

11 ≡ 5 (mod 3)

在数学特别是抽象代数中，同余关系或简称同余是相容于某个代数运算的等价关系。

In abstract algebra, a congruence relation (or simply congruence) is an equivalence relation on an algebraic structure (such as a group, ring, or vector space) that is compatible with the structure in the sense that algebraic operations done with equivalent elements will yield equivalent elements.^[1] Every congruence relation has a corresponding quotient structure, whose elements are the equivalence classes (or congruence classes) for the relation.^[2]

同余关系 等价关系 同余关系的原型

同余关系等价关系同余关系的原型