概率论复习纲要
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第一章
全概率公式：
[P(A) = P(A | B_1 )P(B_1) + P(A | B_2 )P(B_2) + dots + P(A | B_n )P(B_n)
]
贝叶斯公式：
[egin{aligned}
P(B_i|A) & = frac{P(A|B_i)P(B_i)}{sum^n_{j=1}P(A | B_j )P(B_j) }
\
& = frac{P(A|B_i)P(B_i)}{P(A)} space space i = 1,2, dots , n
end{aligned}
]
相互独立： (P(AB) = P(A)P(B))
-
A，B相互独立： ({A，ar B})、({ar{A}, B})、({ar{A},ar{B}})也相互独立。
-
多事件相互独立： (P(ABC)=P(A)P(B)P(C))
-
伯努利概型：表示n次实验中某一事件恰好发生k次。
[P_n(k)=C^k_nP^kq^{n-k},space k=0,1,2,dots,n ]
第二章
带参数 关于概率密度
两点分布，0-1分布：(Xsim b(1, p))
二项分布：(Xsim b(n, p))，
[P{X=k}= C^K_np^kq^{n-k}, space k=0,1,2,dots,n
]
泊松分布：
[P{X = k} = frac{lambda^ke^{-lambda}}{k!}, space k=0,1,2,dots
]
$ lambda = np (, 记)X sim pi(lambda)$ $
分布函数：(F{x} = P{Xle x})
密度函数：
[f(x)=lim_{Delta
ightarrow 0^+}frac{F(x+Delta x)-F(x)}{Delta x} = lim_{Delta
ightarrow 0^+}frac{P{x<X<x+Delta x}}{Delta x}
]
均匀分布： (Xsim u(a, b)),
[f(x) = left{ egin{aligned}
frac{1}{b-a}& , space a < x < b,
\
0& , space 其它
end{aligned}
ight.
]
指数分布： (Xsim E(lambda))
[f(x) = left{ egin{aligned}
lambda e^{-lambda x}&, space a<x<b,
\
0&,space 其它
end{aligned}
ight.
]
正态分布：(Xsim N{mu, sigma^2}),
[f(x) = frac{1}{sqrt{2pi}sigma}e^{-frac{(x-mu)^2}{2sigma^2}}
]
反三角函数的导数：
[egin{aligned}
&(arcsinx)'=frac{1}{sqrt{(1-x^2)}}\
&(arccosx)'=-frac{1}{sqrt{(1-x^2)}}\
&(arctanx)'=frac{1}{(1+x^2)}\
&(arccotx)'=-frac{1}{(1+x^2)}\
end{aligned}
]
第三章
边缘概率密度：(f_X(x), f_Y(y))
[left { egin{aligned}
f_X(x) &= int^infty_{-infty}f(x,y)dy
\ space
\
f_Y(y) &= int^infty_{-infty}f(x,y)dx
end{aligned}
ight.
]
条件概率密度：(f_{X|Y}(x|y)=frac{f(x,y)}{f_Y(y)})
X，Y相互独立：
[F(x,y)=F_X(x)F_Y(y)
ightarrow f(x,y) = f_X(x)cdot f_Y(y)
]
正态分布：
[egin{aligned}
&(X,Y)sim N(mu_1,mu_2,sigma_1^2,sigma_2^2,
ho)\
&f(x,y) egin{aligned} =&
frac{1}{2pisigma_1sigmasqrt{1-
ho^2}}cdot expig{-frac{1}{2(1-
ho^2)}cdot\&ig[frac{(x-mu_1)^2}{sigma_1^2}-frac{2
ho(x-mu_1)(y-mu_2)}{sigma_1sigma_2} + \&frac{(y-mu_2)^2}{sigma^2_2}ig]ig},space -infty<x,y<+infty
end{aligned}\
&f_X(x) = frac{1}{sqrt{2pi}sigma_1}e^{-frac{(x-mu_1)^2}{2sigma_1^2}},\
&f_Y(y)=frac{1}{sqrt{2pi}sigma_2}e^{-frac{(y-mu_2)^2}{2sigma_2^2}}\&
若X和Y相互独立，则
ho=1
end{aligned}
]
第四章
数学期望： (E(X) = int^{infty}_{-infty}xf(x)dx)
数学期望性质：
- (E(C) = C)
- (E(CX) = CE(X))
- (E(X+Y) = E(X) + E(Y))
- X、Y相互独立：(E(XY) = E(X)E(Y))
方差：(D(X) = EX^2 - (EX)^2)
方差性质：
- (D(X+Y) = D(X) + D(Y) + 2cov(X,Y))
- (D(CX) = C^2D(X))
- (D(X+C)=D(X))
分部积分：
[egin{aligned}
d(uv) &= udv + vdu
\
udv &= d(uv) + vdu
end{aligned}
]
反对幂指三：
[int^b_audv=uv|^b_a - int^b_avdu
]
协方差：(cov(X,Y)=E(XY) - E(X)E(Y))
协方差性质：
- (cov(aX, bY)= abspace cov(X,Y))
- (cov(X_1+X_2, Y)=cov(X_1, Y)+cov(X_2, Y))
相关系数： (
ho_{XY} = frac{cov(X,Y)}{sqrt{D(X)}cdotsqrt{D(Y)}})