NOIP2016 DAY2 T1 组合数问题

题目描述

组合数表示的是从n个物品中选出m个物品的方案数。举个例子，从（1,2,3) 三个物品中选择两个物品可以有（1,2),(1,3),(2,3)这三种选择方法。根据组合数的定义，我们可以给出计算组合数的一般公式：

C（m，n）=n!/m!(n−m)!

其中n! = 1 × 2 × · · · × n

小葱想知道如果给定n,m和k，对于所有的0 <= i <= n，0 <= j <= min(i,m)有多少对 (i,j)满足是k的倍数。

输入输出格式

输入格式：

第一行有两个整数t,k，其中t代表该测试点总共有多少组测试数据，k的意义见【问题描述】。

接下来t行每行两个整数n,m，其中n,m的意义见【问题描述】。

输出格式：

t行，每行一个整数代表答案。

输入输出样例

输入样例#1：

1 2

3 3

输出样例#1：

输入样例#2：

2 5

4 5

6 7

输出样例#2：

说明

【样例1说明】

在所有可能的情况中，只有是2的倍数。

思路：这题我是先预处理所有情况，然后O（1）查询，其实只要知道C[i][j] = C[i-1][j] + C[i-1][j-1],这个公式就行了，我们对每一个C[i][j]取模，然后统计，统计[n,m]范围C[i][j] = 0的个数就行了。在统计的时候用到了差分，即s[i][j] = s[i-1][j] + s[i][j-1] -s[i-1][j-1] + (!C[i][j]); (这个仔细想想是很简单的）。

下面是代码，感觉是挺简洁的，如果有问题，可以在下面给我留言。

#include<cstdio>
#define N 2010

int k,C[N][N],s[N][N];

void solve(){
    C[0][0] = C[1][0] = C[1][1] = 1;
    for(int i = 2; i <= 2000;i++){            //计算C[i][j] ，并取模 
        C[i][0] = 1%k;
        for(int j = 1; j <= i; j++)
           C[i][j] = (C[i-1][j]+C[i-1][j-1])%k;
    }
    
    for(int i = 1; i <= 2000;i++){                //统计 
        s[i][0] = s[i-1][0] + !C[i][0];
        s[i][1] = s[i][0]+s[i-1][1]-s[i-1][0] + !C[i][1];
        for(int j = 2; j <= i;j++){
            if(i == j)s[i][j] = s[i][j-1] + !C[i][j];
            else if(i < j)s[i][j] = s[i][j-1];
            else s[i][j] = s[i-1][j] + s[i][j-1]-s[i-1][j-1] + !C[i][j];
        }
    }
    
}

int main(){
    int t;
    scanf("%d%d",&t,&k);
    solve();
    while(t--){
        int n,m;
        scanf("%d%d",&n,&m);
        printf("%d
",s[n][m]);　　　　　　　　//输出
    }
    return 0;
}