做题记录：2016-08-15 15:47:07
背景
NOIP2008复赛提高组第三题
描述
小渊和小轩是好朋友也是同班同学，他们在一起总有谈不完的话题。一次素质拓展活动中，班上同学安排做成一个m行n列的矩阵，而小渊和小轩被安排在矩阵对角线的两端，因此，他们就无法直接交谈了。幸运的是，他们可以通过传纸条来进行交流。纸条要经由许多同学传到对方手里，小渊坐在矩阵的左上角，坐标(1,1)，小轩坐在矩阵的右下角，坐标(m,n)。从小渊传到小轩的纸条只可以向下或者向右传递，从小轩传给小渊的纸条只可以向上或者向左传递。
在活动进行中，小渊希望给小轩传递一张纸条，同时希望小轩给他回复。班里每个同学都可以帮他们传递，但只会帮他们一次，也就是说如果此人在小渊递给小轩纸条的时候帮忙，那么在小轩递给小渊的时候就不会再帮忙。反之亦然。
还有一件事情需要注意，全班每个同学愿意帮忙的好感度有高有低（注意：小渊和小轩的好心程度没有定义，输入时用0表示），可以用一个0-100的自然数来表示，数越大表示越好心。小渊和小轩希望尽可能找好心程度高的同学来帮忙传纸条，即找到来回两条传递路径，使得这两条路径上同学的好心程度只和最大。现在，请你帮助小渊和小轩找到这样的两条路径。
在活动进行中，小渊希望给小轩传递一张纸条，同时希望小轩给他回复。班里每个同学都可以帮他们传递，但只会帮他们一次，也就是说如果此人在小渊递给小轩纸条的时候帮忙，那么在小轩递给小渊的时候就不会再帮忙。反之亦然。
还有一件事情需要注意，全班每个同学愿意帮忙的好感度有高有低（注意：小渊和小轩的好心程度没有定义，输入时用0表示），可以用一个0-100的自然数来表示，数越大表示越好心。小渊和小轩希望尽可能找好心程度高的同学来帮忙传纸条，即找到来回两条传递路径，使得这两条路径上同学的好心程度只和最大。现在，请你帮助小渊和小轩找到这样的两条路径。
输入格式
输入文件message.in的第一行有2个用空格隔开的整数m和n，表示班里有m行n列（1<=m,n<=50）。
接下来的m行是一个m*n的矩阵，矩阵中第i行j列的整数表示坐在第i行j列的学生的好心程度。每行的n个整数之间用空格隔开。
接下来的m行是一个m*n的矩阵，矩阵中第i行j列的整数表示坐在第i行j列的学生的好心程度。每行的n个整数之间用空格隔开。
输出格式
输出文件message.out共一行，包含一个整数，表示来回两条路上参与传递纸条的学生的好心程度之和的最大值。
测试样例1
输入
3 3
0 3 9
2 8 5
5 7 0
输出
34
备注
30%的数据满足：1<=m,n<=10
100%的数据满足：1<=m,n<=50
100%的数据满足：1<=m,n<=50
代码
#include<iostream> #include<cstring> #include<cstdio> #include<algorithm> using namespace std; int N,M,a[55][55],f[105][55][55]; int main(){ // freopen("01.txt","r",stdin); scanf("%d%d",&N,&M); for(int i=1;i<=N;i++){ for(int j=1;j<=M;j++){ scanf("%d",&a[i][j]); } } for(int i=1;i<=N+M;i++){ for(int k=1;k<=i&&k<=N;k++){ for(int j=1;j<=i&&j<=N;j++){ if(j!=k||i==N+M){ f[i][j][k]=max(f[i][j][k],f[i-1][j-1][k]); f[i][j][k]=max(f[i][j][k],f[i-1][j-1][k-1]); f[i][j][k]=max(f[i][j][k],f[i-1][j][k]); f[i][j][k]=max(f[i][j][k],f[i-1][j][k-1]); f[i][j][k]+=(a[j][i-j+1]+a[k][i-k+1]);//通过步数i与第一条路线行数j以及第二条路线行数k计算横坐标 } } } } printf("%d ",f[N+M][N][N]); return 0; }
可以看成从（1，1）到（m，n）找两条不相交的路径
f(i,j,k)表示传到第i个人，第一条路径在第j行，第二条路径在第k行的最大价值
以上题目没有考虑同位置的情况，下面给出同类题目
题目描述
设有N*N的方格图(N<=9)，我们将其中的某些方格中填入正整数，而其他的方格中则放
人数字0。如下图所示（见样例）：
A
0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 13 0 0 6 0 0
0 0 0 0 7 0 0 0
0 0 0 14 0 0 0 0
0 21 0 0 0 4 0 0
0 0 15 0 0 0 0 0
0 14 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0
. B某人从图的左上角的A点出发，可以向下行走，也可以向右走，直到到达右下角的B
点。在走过的路上，他可以取走方格中的数（取走后的方格中将变为数字0）。
此人从A点到B点共走两次，试找出2条这样的路径，使得取得的数之和为最大。
输入输出格式
输入格式：
输入的第一行为一个整数N（表示N*N的方格图），接下来的每行有三个整数，前两个
表示位置，第三个数为该位置上所放的数。一行单独的0表示输入结束。
输出格式：
只需输出一个整数，表示2条路径上取得的最大的和。
输入输出样例
输入样例#1：
8 2 3 13 2 6 6 3 5 7 4 4 14 5 2 21 5 6 4 6 3 15 7 2 14 0 0 0
输出样例#1：
67
说明
NOIP 2000 提高组第四题
代码
1 #include<algorithm> 2 #include<iostream> 3 #include<cstring> 4 #include<cstdio> 5 using namespace std; 6 int a[15][15],f[25][15][15]; 7 int N,x,y,z; 8 int main(){ 9 // freopen("01.txt","r",stdin); 10 scanf("%d",&N); 11 while((scanf("%d%d%d",&x,&y,&z)==3)&&(x+y+z>0)) 12 a[x][y]=z; 13 14 for(int i=1;i<=2*N;i++){ 15 for(int j=1;j<=N&&j<=i;j++){ 16 for(int k=1;k<=N&&k<=i;k++){ 17 if(j!=k||i==N*2){ 18 f[i][j][k]=max(f[i][j][k],f[i-1][j][k]); 19 f[i][j][k]=max(f[i][j][k],f[i-1][j-1][k]); 20 f[i][j][k]=max(f[i][j][k],f[i-1][j][k-1]); 21 f[i][j][k]=max(f[i][j][k],f[i-1][j-1][k-1]); 22 f[i][j][k]+=(a[j][i-j+1]+a[k][i-k+1]); 23 } 24 else if(i == j) { 25 f[i][j][k]=max(f[i][j][k],f[i-1][j][k]); 26 f[i][j][k]=max(f[i][j][k],f[i-1][j-1][k]); 27 f[i][j][k]=max(f[i][j][k],f[i-1][j][k-1]); 28 f[i][j][k]=max(f[i][j][k],f[i-1][j-1][k-1]); 29 f[i][j][k]+=a[j][i-j+1]; 30 //此处可以用一个变量统计 f[i][j][k]， 31 //最后再判断 (i == j)，节省代码长度 32 } 33 } 34 } 35 } 36 37 printf("%d ",f[2*N][N][N]); 38 return 0; 39 }转载题解：
由于本题的数据规模很小，所以（n^4)的方法也能解决。但是的规模增大的时候我们就必须对算法进行优化了。
很明显dp[i1][j1][i2][j2]的四维状态描述了所有可能的走法，当然我们也可以改变状态的表示法，减少状态的维数。
f[k][i][j] = max { f[k-1][i][j], f[k-1][i-1][j-1], f[k-1][i-1][j],f[k-1][I][j-1] } + (i==j ? a[k-i][i] : a[k-i+1][i]+a[k-j+1][j])
f[k][i][j]表示走了k步，第一条路向右走i步，第二条路向右走j步。
每条路的每个位置都可以从它的上方或左方得到，所以max{}里会有四个状态。还有
如果两条路走到了同一位置，那么该位置的数只加一次.