题目是：设$f(x)=sum_{j=0}^{n}a_{j}x^j$是非零的实系数多项式,它的根也全是实根.试证多项式$$g(x)=sum_{j=0}^{n}inom{n}{j}a_{j}x^j$$的根也全是实根.
先证明一个结论：设$n$次实系数多项式$P(x)$的根全是实根,则$P(x),P'(x)$的任意线性组合$aP(x)+bP'(x)$的根也全是实根.因为考虑函数$P(x)e^{cx},(cinmathbb R)$,他有$n$个实根,根据Rolle定理他的导函数至少有$n-1$个实根,因为$$left(P(x)e^{cx} ight)'=(cP(x)+P'(x))e^{cx}$$
所以$cP(x)+P'(x)$至少有$n-1$个实根,但是他是一个$n$次多项式,所以剩余的那个根也是实根.即：$cP(x)+P'(x)$的根全是实根,由$c$的任意性可得$$aP(x)+bP'(x),(a,binmathbb R)$$的根全是实根.