白话马尔可夫链

1. 古板的定义

　　马尔可夫链因俄国数学家Andrey Andreyevich Markov得名，为状态空间中经过从一个状态到另一个状态的转换的随机过程。该过程要求具备“无记忆”的性质：下一状态的概率分布只能由当前状态决定，在时间序列中它前面的事件均与之无关。这种特定类型的“无记忆性”称作马尔可夫性质。马尔科夫链作为实际过程的统计模型具有许多应用。

看完这个定义我的表情是下面这样的

看过大佬的一些通俗解释的例子: 假如每天的天气是一个状态: 比如昨天是阴天, 今天是晴天,则明天的天气是什么只和今天的天气(晴天)有关,和今天之前的任何天气都没有关系.(就是当前的状态只和前一个状态有关系,和别的任何状态都无关)

所以根据定义可以知道数学定义的公式如下:

2. 举个例子解释马尔可夫链

这个例子是参考一个博客的:(链接等下我会发在底部)

这个例子是用来描述股市如下图:

总共是三个状态: Bull market: 表示牛市 Bear market 表示熊市 Stagnant表示横盘

接下来根据图我们可以定义状态转移矩阵

从一个状态转移为另一个状态的表示为P(i,j) 表示从状态 i 转变为状态 j 的概率其中Bull market 表示为状态 0 Bear market 表示为状态1 Stagnant表示为状态2

接下来是一个有意思的事情:

我们假设现在的市场是牛市: 状态矩阵为[1,0,0]

import numpy as np
def markov():
    init_array = np.array([1,0,0])
    transfer_matrix = np.array([[0.9, 0.075, 0.025],
                               [0.15, 0.8, 0.05],
                               [0.25, 0.25, 0.5]])
    restmp = init_array
    for i in range(25):
        res = np.dot(restmp, transfer_matrix)
        print(res)
        restmp = res
markov()

则输出的结果为:

 1 [0.25 0.25 0.5 ]
 2 [0.3875  0.34375 0.26875]
 3 [0.4675  0.37125 0.16125]
 4 [0.51675  0.372375 0.110875]
 5 [0.54865  0.364375 0.086975]
 6 [0.570185  0.3543925 0.0754225]
 7 [0.585181  0.3451335 0.0696855]
 8 [0.5958543  0.33741675 0.06672895]
 9 [0.60356362 0.33130471 0.06513167]
10 [0.60918588 0.32659396 0.06422016]
11 [0.61331143 0.32301915 0.06366943]
12 [0.61635051 0.32033103 0.06331846]
13 [0.61859473 0.31832073 0.06308454]
14 [0.6202545  0.31682232 0.06292318]
15 [0.62148319 0.31570774 0.06280907]
16 [0.6223933 0.3148797 0.062727 ]
17 [0.62306768 0.31426501 0.06266732]
18 [0.62356749 0.31380891 0.0626236 ]
19 [0.62393798 0.31347059 0.06259143]
20 [0.62421263 0.31321968 0.0625677 ]
21 [0.62441624 0.31303361 0.06255015]
22 [0.62456719 0.31289565 0.06253716]
23 [0.62467911 0.31279335 0.06252754]
24 [0.62476209 0.3127175  0.06252042]
25 [0.62482361 0.31266126 0.06251514]

在第20次之后值就趋于一个固定的值 [0.62421263 0.31321968 0.0625677 ]

然后假设现在是熊市: 即状态为[0,1,0]

import numpy as np
def markov():
    init_array = np.array([0,1,0])
    transfer_matrix = np.array([[0.9, 0.075, 0.025],
                               [0.15, 0.8, 0.05],
                               [0.25, 0.25, 0.5]])
    restmp = init_array
    for i in range(25):
        res = np.dot(restmp, transfer_matrix)
        print(res)
        restmp = res
markov()

结果如下:

 1 [0.15 0.8  0.05]
 2 [0.2675  0.66375 0.06875]
 3 [0.3575  0.56825 0.07425]
 4 [0.42555  0.499975 0.074475]
 5 [0.47661  0.450515 0.072875]
 6 [0.514745  0.4143765 0.0708785]
 7 [0.5431466 0.3878267 0.0690267]
 8 [0.56426262 0.36825403 0.06748335]
 9 [0.5799453  0.35379376 0.06626094]
10 [0.59158507 0.34309614 0.06531879]
11 [0.60022068 0.33517549 0.06460383]
12 [0.60662589 0.3293079  0.06406621]
13 [0.61137604 0.32495981 0.06366415]
14 [0.61489845 0.32173709 0.06336446]
15 [0.61751028 0.31934817 0.06314155]
16 [0.61944687 0.3175772  0.06297594]
17 [0.62088274 0.31626426 0.062853  ]
18 [0.62194736 0.31529086 0.06276178]
19 [0.6227367  0.31456919 0.06269412]
20 [0.62332193 0.31403413 0.06264394]
21 [0.62375584 0.31363743 0.06260672]
22 [0.62407756 0.31334332 0.06257913]
23 [0.62431608 0.31312525 0.06255867]
24 [0.62449293 0.31296357 0.0625435 ]
25 [0.62462404 0.3128437  0.06253225]

在20次之后结果也会趋近一个值 [0.62407756 0.31334332 0.06257913]

通过使用转换矩阵，可以计算市场从持平到牛市所需的平均周数等。使用转换概率，稳态概率表明，在给定的周数中，62.5％的周将处于牛市中，31.25％的周将处于熊市中，6.25％的周将停滞，因为：

由此可知马尔科夫链又细致平稳的性质(就是能收敛)

3.马尔可夫链细致平稳的条件

3.1 可能的状态数是有限的

　3.2 状态间的转移概率需要不变( 状态转移矩阵不要变)

　3.3 状态之间可以互相转换

　3.4 状态不能是简单的循环 (比如状态是两个互相循环)

针对3.4 举个例子:

　假设只有两个状态互相循环转变:

import numpy as np
def markov():
    init_array = np.array([0,1])
  
    restmp = init_array
    transfer_matrix1=[[0.1,0.2],
                     [0.4,0.3]]
    for i in range(25):
        res = np.dot(restmp, transfer_matrix1)
        print(res)
        restmp = res
markov()

得到结果如下:

 1 [0.4 0.3]
 2 [0.16 0.17]
 3 [0.084 0.083]
 4 [0.0416 0.0417]
 5 [0.02084 0.02083]
 6 [0.010416 0.010417]
 7 [0.0052084 0.0052083]
 8 [0.00260416 0.00260417]
 9 [0.00130208 0.00130208]
10 [0.00065104 0.00065104]
11 [0.00032552 0.00032552]
12 [0.00016276 0.00016276]
13 [8.13802084e-05 8.13802083e-05]
14 [4.06901042e-05 4.06901042e-05]
15 [2.03450521e-05 2.03450521e-05]
16 [1.0172526e-05 1.0172526e-05]
17 [5.08626302e-06 5.08626302e-06]
18 [2.54313151e-06 2.54313151e-06]
19 [1.27156576e-06 1.27156576e-06]
20 [6.35782878e-07 6.35782878e-07]
21 [3.17891439e-07 3.17891439e-07]
22 [1.58945719e-07 1.58945719e-07]
23 [7.94728597e-08 7.94728597e-08]
24 [3.97364299e-08 3.97364299e-08]
25 [1.98682149e-08 1.98682149e-08]

会发现完全没有收敛

参考博客:

https://blog.csdn.net/bitcarmanlee/article/details/82819860

https://www.jiqizhixin.com/graph/technologies/fdebe132-cd51-43ba-8bda-a42abc478cbb