Applied Nonparametric Statistics-lec8

Ref：https://onlinecourses.science.psu.edu/stat464/print/book/export/html/11

additive model

value = typical value + row effect + column effect + residual

predicate value = typical value + row effect + column effect

其中value是我们关注的值，typical value是overall median，row effect是block effect，column effect是treatment effect

下面用例题来展示：

问题：对于面包中烟酸（维生素B3）的含量，三个实验室（abc）的测量方法可能不同。烟酸的含量分为三档：

no niacin、2mg/100gm、4mg/100gm。我们把一些样本送到三个实验室做检测，希望知道：划分档次时，是否

基于烟酸的实际含量。

输入：niacin_r.txt（参见网页）

步骤一：

Plots the mean (or other summary) of the response for two-way combinations of factors, thereby illustrating possible interactions.

data = read.table("niacin_r.txt", header=F, sep=",")
data = as.data.frame(data)
names(data)=c("niacin", "lab", "level")
attach(data)
interaction.plot(lab, level, niacin, fun=median)
detach(data)

结果如图

因为三条线基本是平行的（没有明显的交叉），所以我们可以继续做。（additive model没有考虑interaction的情况）

现在需要整理一下数据：首先将数据按照lab和level聚集一下

a=aggregate(niacin~lab+level, data=data, median)

结果是这样的：

> a
  lab level niacin
1   a     0     36
2   b     0     38
3   c     0     39
4   a     2     53
5   b     2     56
6   c     2     55
7   a     4     68
8   b     4     76
9   c     4     73

然后将它变成矩阵，每一行表示block（这里是level水平，0,2,4），每一列表示treat（这里是lab，abc）

> m=matrix(a[,3], nrow=3, ncol=3, byrow=T)
> m
     [,1] [,2] [,3]
[1,]   36   38   39
[2,]   53   56   55
[3,]   68   76   73

步骤二：median polish

> medpolish(m)
1: 7
Final: 7

Median Polish Results (Dataset: "m")

Overall: 55

Row Effects:
[1] -17   0  18

Column Effects:
[1] -2  1  0

Residuals:
     [,1] [,2] [,3]
[1,]    0   -1    1
[2,]    0    0    0
[3,]   -3    2    0

这样我们已经得到了完整的additive model，其中typical value即overall，也就是55。

注意：medpolish实际是将前面的结果做了一个拆分，比如

m[1,1] = 36 = overall + column_effect[1] + row_effect[1] + residuals[1, 1] = 55 + (-17) + (-2) + 0

为了确定模型的好坏，我们计算统计量R*。如上例，TV是55，计算出R*约为0.9346，也就是说，考虑了lab和level的这种

additive model，可以解释93%的烟酸水平评定结果。

（the additive model of the labs and levels of niacin explain about 93% of the variation in the measured niacin levels.）

如果三条线有交叉，就要对每个block（每行）分别进行考虑，使用kruskal test。如果overall error rate是0.09，3个block的话，

那么每个的α值就是0.03（p值小于它就拒绝原假设）。

判断interaction的统计量可以用上面得到的Residuals矩阵，使用Q这个统计量，使用自由度为(b-1)×(k-1)的卡方分布决定p值

Dichotomous Data (Cochran's Tests)

b个block，k个treatment，实际数值只有两种，即0和1

前提：blocks是随机选择的；结果变量是二值化的。

假设：

$H_{0} : treatments are equally effective$