markdown好像炸了 不管了懒得改能看懂就行233
算了吧良心一点改好了
有形如图所示的数塔，从顶部出发，在每一结点可以选择向左走或是向右走，一起走到底层，要求找出一条路径，使路径上的值最大。
请无视CSDN的水印
要求输出最大和
接下来，我们来分析一下解题思路：
用二维数组来存放数字三角形
我们用(D(r,j))来表示第(r) 行第(j)个数字((r,j)从(1)开始算)
我们用(f(r,j))表示从(D(r,j))到底边的各条路径中，最佳路径的数字之和。
因此，此题的最终问题就变成了求(f(1,1))
(D(r,j))出发，下一步只能走(D(r+1,j))或者(D(r+1,j+1))。故对于(N)行的三角形，我们可以写出如下的递归式：
if(r==N)
f(r,j)=D(r,j)
else
f(r,j)=max{f(r+1,j),f(r+1,j+1)}+D(r,j)
然而很明显递归不是正解 会超时。因为我们对同一点重复递归了多次，时间复杂度(O(n^2))。
很容易想到记忆化递归。
代码：
#include <iostream>
#include <algorithm>
using namespace std;
#define MAX 101
int D[MAX][MAX],n,f[MAX][MAX];
int work(int i,int j){
if(f[i][j])
return f[i][j];
if(i==n)
f[i][j]=D[i][j];
else{
int x=work(i+1,j);
int y=work(i+1,j+1);
f[i][j]=max(x,y)+D[i][j];
}
return f[i][j];
}
int main(){
int i,j;
cin>>n;
for(i=1;i<=n;i++)
for(j=1;j<=i;j++) {
cin>>D[i][j];
f[i][j]=-1;
}
cout<<work(1,1)<<endl;
return 0;
}
$ AC $撒花！
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另一种做法就是爆搜啦！
当然要用记忆化搜索。
这里不再赘述。
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我们并不能满足于这样的代码，因为递归总是需要使用大量堆栈上的空间，很容易造成栈溢出，我们现在就要考虑如何把递归转换为递推。
我们首先需要计算的是最后一行，因此可以把最后一行直接写出，如下图：
现在开始分析倒数第二行的每一个数，现分析数字2，2可以和最后一行4相加，也可以和最后一行的5相加，但是很显然和5相加要更大一点，结果为7，我们此时就可以将7保存起来，然后分析数字7，7可以和最后一行的5相加，也可以和最后一行的2相加，很显然和5相加更大，结果为12，因此我们将12保存起来。以此类推。我们可以得到下面这张图：
然后按同样的道理分析倒数第三行和倒数第四行，最后分析第一行，我们可以依次得到如下结果：
容易写出代码
#include<iostream>
using namespace std;
int n, d[100][100];
int main(){
cin>>n;
for(int i=1; i<=n; i++)
for(int j=1; j<=i; j++)
cin>>d[i][j];
for(int i=n-1; i>0; i--)
for(int j=1; j<=i; j++)
d[i][j]=d[i][j]+max(d[i+1][j], d[i+1][j+1]);
cout<<"max="<<d[1][1]<<endl;
return 0;
}
我们仍然可以继续优化，而这个优化当然是对于空间进行优化，其实完全没必要用二维数组存储每一个(f(r,j)),只要从底层一行行向上递推，那么只要一维数组(d[100])即可,即只要存储一行的值就可以。
一维数组优化：
#include<iostream>
using namespace std;
#define MAX 101
int d[MAX][MAX],n,* f;
int main(){
int i,j;
cin>>n;
for(i=1;i<=n;i++)
for(j=1;j<=i;j++)
cin>>d[i][j];
f=d[n];//f是指针 等价于数组
for(i=n-1;i>=1;i--)
for(j=1;j<=i;j++)
f[j]=max(f[j],f[j+1])+d[i][j];
cout<<f[1];
return 0;
}
$ AC $撒花！
部分内容及图片来自教你彻底学会动态规划——入门篇