假设$A$是$m*n$矩阵，可通过证明$Ax=0$和$A^TAx=0$这两个n元方程有相同解来证明$rank(A^TA)=rank(A)$。
(1) $Ax=0 ightarrow A^TAx=0$，即方程$Ax=0$的解也是$A^TAx=0$的解；
(2) $A^TAx=0 ightarrow x^TA^TAx=0 ightarrow (Ax)^T(Ax)=0 ightarrow Ax=0$，即方程$A^TAx=0$的解也是$Ax=0$的解。
同理可证明$rank(AA^T)=rank(A)$。