矩阵相关

1，矩阵的秩

1、定义：矩阵的阶梯形中非零行的个数称为A的秩.

（1）引理7 如果矩阵A与B是行等价的，则A与B的非零列的个数相等；如果矩阵A与C是列等价的，则A与C的非零行的个数相等.

（2）命题7 矩阵A的秩不大于A的非零行的个数，也不大于A的非零列的个数.

（3）引理8 如果矩阵A与B是行等价的，则

（4）引理9 如果对矩阵A作一次初等列变换得矩阵B，那么

（5）定理2 如果矩阵A与B是等价的，则

（6）定理3 矩阵A的秩为r的充分必要条件是A等价于如下形式的矩阵

的(1,1),...,(r,r)元都为1，其余都为0.

（8）命题8 ：矩阵A的秩等于矩阵A转置的秩

（9）定理4

推论如果m个矩阵的乘积有意义，则

（10）设A为n阶矩阵，如果 r(A)=n ,则A可以表示为有限个n阶初等矩阵的乘积.

2,矩阵的逆

1、定义：设A是n阶矩阵，如果存在n阶矩阵B，使得AB=BA= ,则称A是可逆矩阵，称B为A的逆矩阵。不是可逆的矩阵称为不可逆矩阵.

2、性质

（1）如果A是可逆矩阵，那么A的逆矩阵是唯一的。可逆矩阵A的逆矩阵记作.

（2）如果A是可逆的，则也是可逆的，并且.

（3）如果k为非零常数，A为可逆矩阵，那么也是可逆矩阵，并且 .

（4）如果A，B为同阶可逆矩阵，则AB也是可逆矩阵，并且

（5）如果A是可逆的，那么也是可逆的，并且

（6）初等矩阵是可逆的，并且初等矩阵的逆矩阵仍然是初等矩阵.(命题5)

（7）引理10 如果A是 n阶可逆矩阵，那么

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3,满秩矩阵

4，奇排列/偶排列

5，最优解的求法