$prodlimits_{substack{(k,n)=1 \ 1leqslant k leqslant n}} k$ 的阶
2018 年 6 月 8 日
网友王永强先生发给我的朋友熊哥（曾熊）如下结果，一个数论不等式：
| 设 $q_{n}= prodlimits_{substack{(k,n)=1 \ 1leqslant k leqslant n}} k $, 证明 egin{equation}label{eq:1} n^{phi(n)} frac{mathrm{e}^{Lambda(n)}}{(2pi)^{phi(n)}} leqslant q_n leqslant n^{phi(n)} sqrt{frac{mathrm{e}^{Lambda(n)}}{(2pi)^{phi(n)}}}, end{equation} 其中 $phi(n)$ 是 Euler 示性函数, $Lambda(n)$ 是 von Mangoldt 函数. |
熊哥希望我能给出证明，但是我并没有完全证明出来，不过基本上我能够给出任意精度的阶．
将原不等式 eqref{eq:1} 取对数, 即证
egin{equation*}
phi(n)log n + Lambda(n) - phi(n) log 2pi leqslant log q_n
leqslant phi(n) log n + frac{1}{2} Lambda(n) - frac{1}{2} phi(n) log 2pi.
end{equation*}
- 下面给出 $log q_n$ 阶 (对充分大的正整数 $nin mathbb{N}$).
egin{align*}
log q_n & = sum_{substack{(k,n)=1\ 1leqslant k leqslant n}} log k = sum_{1leqslant k leqslant n} log k sum_{dmid (n,k)} mu(d) \
& = sum_{dmid n}mu(d) sum_{substack{kleqslant n \ dmid k}} log k =
sum_{dmid n}mu(d) sum_{tleqslant n/d} log(dt) \
& = sum_{dmid n} mu(d) sum_{tleqslant n/d} ig(log d + log tig) \
& = sum_{dmid n}mu(d) log d cdot sum_{tleqslant n/d} 1 + sum_{dmid n} mu(d) sum_{tleqslant n/d} log t \
& = {color{red} sum_{dmid n} mu(d) log d Big[frac{n}{d} Big]} + sum_{dmid n}mu(d) Big( frac{n}{d} logfrac{n}{d} - frac{n}{d}
+ frac{1}{2}log 2pi + frac{1}{2}log frac{n}{d} + O Big(frac{d}{n} Big)Big) \
& = {color{red} n sum_{dmid n} frac{mu(d)log d}{d}}
\
& quad + nlog n {color{blue} sum_{dmid n} frac{mu(d)}{d}}
{color{red} - n sum_{dmid n} frac{mu(d)log d}{d} }
- n {color{blue} sum_{dmid n} frac{mu(d)}{d}} \
& quad
+ frac{1}{2}log 2pi sum_{dmid n} mu(d)
+ frac{1}{2} {color{green} sum_{dmid n} mu(d) log frac{n}{d}}
+ O left( {color{purple} sum_{dmid n} 1 }
ight) \
& = n log n cdot {color{blue} frac{phi(n)}{n}} - ncdot {color{blue} frac{phi(n)}{n}}
+ frac{1}{2} {color{green} Lambda(n)}
+ O left( {color{purple} au(n) }
ight) \
& = phi(n)log n - phi(n) + frac{1}{2} Lambda(n) +O( n).
end{align*}
其中 $mu(n)$ 是 Möbius 函数, $mu colon mathbb{N} o {-1,0,1}$. $[x]$ 表示 $x$ 的整数部分, ${x}$ 表示 $x$ 的小数小数部分, $0leqslant{x}<1$, 且 $[x] = x - {x }=x+O(1)$. 因子个数函数 $ au(n)=sum_{dmid n} 1$ 且 $forall ngeqslant 1$, $ au(n)leqslant n$.
上面我们使用了如下结论:
egin{equation*}
sum_{dmid m} mu(d) = egin{cases}
1, & ext{若 $m=1$} \
0, & ext{若 $m>1$}.
end{cases}
end{equation*}
egin{equation*}
sum_{dmid n} frac{mu(d)}{d} = frac{phi(n)}{n}.
end{equation*}
von Mangoldt 函数
egin{equation*}
Lambda(n) = sum_{dmid n} mu(d) log frac{n}{d} = - sum_{dmid n} mu(d) log d.
end{equation*}
Stirling 公式
egin{equation}label{eq:2}
sum_{k=1}^{n} log k = nlog n -n + frac{1}{2} log (2pi n)
+ frac{1}{12n} + O left(frac{1}{n^3}
ight).
end{equation}
- 下面换一种思路来求 $log q_n$ 阶.
对于算术函数 $f$, 我们有
egin{equation*}
sum_{substack{(k,n)=1 \ 1leqslant k leqslant n}} f(k) = sum_{dmid n} mu(d) sum_{t leqslant n/d} f(dt)
end{equation*}
不妨取 $f(k)=frac{1}{k^s}$, 于是
egin{equation*}
g(s):= sum_{substack{(k,n)=1 \ 1leqslant k leqslant n}} frac{1}{k^s}
= sum_{dmid n} mu(d) sum_{t leqslant n/d} frac{1}{(dt)^s}
= sum_{dmid n} frac{mu(d)}{d^s} sum_{t leqslant n/d} frac{1}{t^s}
end{equation*}
考虑 Riemann zeta 函数 $zeta(s)$ (解析延拓到整个复平面, 除了 $s=1$ 有一阶极点, 留数为 $1$), 对于 $ngeqslant 1$, $s
eq 1$, 我们有 (可由 Euler-Maclaurin 求和公式得到)
egin{equation}label{eq:3}
sum_{1leqslant k leqslant n} frac{1}{k^s} = zeta(s) + frac{n^{1-s}}{1-s} + O(n^{-s})
end{equation}
则
egin{align*}
g(s) & = sum_{dmid n} frac{mu(d)}{d^s} left(zeta(s)
- frac{(n/d)^{1-s}}{1-s} + OBig(frac{d^s}{n^s}Big)
ight) \
& = zeta(s) sum_{dmid n} frac{mu(d)}{d^s}
+ frac{n^{1-s}}{1-s} sum_{dmid n} frac{mu(d)}{d} + O(n^{-s}),
end{align*}
对 $s$ 求导得
egin{align*}
g'(s) & =-sum_{substack{(k,n)=1\ 1leqslant k leqslant n}} frac{log k}{k^s} \
& = zeta'(s) sum_{dmid n} frac{mu(d)}{d^s}
- zeta(s) sum_{dmid n} frac{mu(d)log d}{d^s}
+ Big( frac{n^{1-s}}{(1-s)^2}- frac{n^{1-s}log n}{1-s} Big) frac{phi(n)}{n}
+ O(n^{-s}log n)
end{align*}
从而
egin{align*}
-g'(0) & = sum_{substack{(k,n)=1\ 1leqslant k leqslant n}} log k \
& =-zeta'(0) sum_{dmid n} mu(d) + zeta(0) sum_{dmid n} mu(d)log d
-(n - nlog n) frac{phi(n)}{n} + O(log n) \
& = frac{1}{2} Lambda(n) -phi(n) + phi(n) log n + O(log n),
end{align*}
其中
egin{equation*}
zeta(0) = -frac{1}{2}, quad zeta'(0)= - frac{1}{2} log 2pi.
end{equation*}
注意到, 分别将 eqref{eq:2} 式或 eqref{eq:3} 作更细致的估计, 我们就能得到 $log q_{n}$ 更精细的结果.