矩阵分析线性系统3 LU分解

1. LU分解

LU分解在本质上是高斯消元法的一种表达形式。实质上是将A通过初等行变换变成一个上三角矩阵，其变换矩阵就是一个单位下三角矩阵。这正是所谓的杜尔里特算法（Doolittle algorithm）：从下至上地对矩阵A做初等行变换，将对角线左下方的元素变成零，然后再证明这些行变换的效果等同于左乘一系列单位下三角矩阵，这一系列单位下三角矩阵的乘积的逆就是L矩阵，它也是一个单位下三角矩阵。

下面以具体例子来说明。若AX=b是一个非奇异系统，那么高斯消元法将A化简为一个上三角矩阵。若主轴上没有0值，则无需交互行，因此只需进行第3类初等行变换（把第 i 行加上第 j 的 k 倍）即可完成此变换。例如

                                                                             （1）

第3类行变换可以通过左乘相应的初等矩阵实现，对上例来说进行的3个变换就是相应初等矩阵的乘积。注意最右边是一个下三角矩阵L

                                  =L            （2）

从而有，即。因此A=LU，为一个下三角与一个上三角矩阵的乘积，因此称为LU分解。

注意

1）U是高斯消元的结果，且对角线上是主元

2）L对角线上是1，对角线下面的元素恰恰是在式1中用于消去（i,j）位置上元素的乘子。

2. LDU分解

LU分解存在不对称，因为L矩阵的主对角线元素为1，而U矩阵主对角线不为1。为了对此进行弥补，可U矩阵进一步做如下分解

                     = DU

这就是LDU分解，其中L和U是单位三角阵（主对角线都为1），D是对角阵。

下图说明了Walsh matrix的LDU分解 

                             

3. LDL^T分解

当A是对称阵时，LDU分解为A=LDL^T 。例子如下

对称阵   ， LU分解为， LDL^T 分解为。

进一步，由于对角阵D的元素为正，可有，从而得到，其中U是上三角阵。