2.18 数组分割

问题：

有一个没有排序，元素个数为2N的正整数数组。要求把它分割为元素个数为N的两个数组，并使两个子数组的和最接近。

解法：

假设数组A[1..2N]所有元素的和是SUM。模仿动态规划解0-1背包问题的策略，令S(k, i)表示前k个元素中任意i个元素的和的集合。显然：
S(k, 1) = {A[i] | 1<= i <= k}
S(k, k) = {A[1]+A[2]+…+A[k]}
S(k, i) = S(k-1, i) U {A[k] + x | x属于S(k-1, i-1) }
按照这个递推公式来计算，最后找出集合S(2N, N)中与SUM最接近的那个和，这便是答案。这个算法的时间复杂度是O(2^N).

因为这个过程中只关注和不大于SUM/2的那个子数组的和。所以集合中重复的和以及大于SUM/2的和都是没有意义的。把这些没有意义的和剔除掉，剩下的有意义的和的个数最多就是SUM/2个。所以，我们不需要记录S(2N,N)中都有哪些和，只需要从SUM/2到1遍历一次，逐个询问这个值是不是在S(2N,N)中出现，第一个出现的值就是答案。我们的程序不需要按照上述递推公式计算每个集合，只需要为每个集合设一个标志数组，标记SUM/2到1这个区间中的哪些值可以被计算出来。

#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>

int array[] = {1, 5, 7, 8, 9, 6, 3, 11, 20, 17, 50};
const int N = 5;
const int SUM = 137;

int min(int x, int y)
{
    return (x > y) ? y : x;
}

int max(int x, int y)
{
    return (x > y) ? x : y;
}

int solve()
{
    int i , j , s;
    int dp[N+1][SUM/2+2];
    memset(dp,0,sizeof(dp));

    for(i = 1 ; i <= 2*N ; ++i)
    {
        for(j = 1 ; j <= min(i,N) ; ++j)
        {
            for(s = SUM/2+1 ; s >= array[i] ; --s)
            {
                dp[j][s] = max(dp[j-1][s-array[i]]+array[i] , dp[j][s]);
            }
        }
    }
    return dp[N][SUM/2+1];
}


int main()
{
    printf("%d
", solve());
    return 0;
}