【CodeForces】585 E. Present for Vitalik the Philatelist

【题目】E. Present for Vitalik the Philatelist

【题意】给定n个数字，定义一种合法方案为选择一个数字A_a，选择另外一些数字A_bi，令g=gcd(Ab1...Abx)，要求满足g≠1且gcd(A_a,g)=1，求方案数取模1e9+7。2<=n<=5*10^5，2<=ai<=10^7。

【算法】数论，计数问题

【题解】

考虑选择一些数字使得g≠1，容易想到枚举g值，O(n ln n)地枚举g的倍数，得到b[g]表示数列中数字为g的倍数的个数。

那么含有公因数g的区间数为2^b[g]-1，考虑容斥。

引入莫比乌斯函数μ(x)，简单定义：μ(1)=1，含奇数个素因子μ(x)=-1，含偶数个素因子μ(x)=1，含重复素因子μ(x)=0。

根据容斥原理的奇加偶减，应将-μ[g]作为系数，那么总方案数就是sum=Σ-μ(g)*(2^b[g]-1)，g=2~max(ai)。

接下来考虑区间和数字A_a组合，会减去gcd和Aa不互质的区间，也就是去掉公因数含有Aa的素因子的区间，这实际上也是莫比乌斯函数容斥。

所以可以套用在原来的容斥上，也就是对于数字Aa，只要将Aa的所有因子g的μ(g)视为0，计算出来的sum就是数字Aa的贡献。

那么再换个角度，含有公因数g的区间只会在数字Aa不含因子g的时候被贡献，这样的数字数实际上是n-b[g]。

所以，ans=Σ-μ(g)*(2^b[g]-1)*(n-b[g])，g=2~max(ai)。

最后，可以用自带容斥的方法避开μ的计算。最后视为对(2^b[g]-1)*(n-b[g])进行容斥（即使这样容斥没有实际含义），然后减去f[h]（h=k*g），得到f[g]。ans=Σf[g]。（这种方法和埃式筛μ的本质相同）

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
using namespace std;
const int maxn=500010,N=10000010,M=1e9+7;
int n,x,b[N],fx[maxn],f[N],ans=0,mx=0;
int main(){
    scanf("%d",&n);
    for(int i=1;i<=n;i++)scanf("%d",&x),mx=max(mx,x),b[x]++;
    fx[0]=1;for(int i=1;i<=n;i++)fx[i]=(fx[i-1]<<1)%M;
    for(int g=mx;g>=1;g--){
        x=b[g];
        for(int i=g+g;i<=mx;i+=g){
            x+=b[i];
            f[g]=(f[g]-f[i]+M)%M;
        }
        if(g!=1){
            f[g]=(f[g]+1ll*(fx[x]-1)*(n-x)%M)%M;
            ans=(ans+f[g])%M;
        }
    }
    printf("%d",ans);
    return 0;
}