Dijkstra(狄杰斯特拉)算法是典型的单源最短路径算法，用于计算一个节点到其他所有节点的最短路径。主要特点是以起始点为中心向外层层扩展，直到扩展到终点为止。Dijkstra算法是很有代表性的最短路径算法，在很多专业课程中都作为基本内容有详细的介绍，如数据结构，图论，运筹学等等。Dijkstra一般的表述通常有两种方式，一种用永久和临时标号方式，一种是用OPEN, CLOSE表的方式，这里均采用永久和临时标号的方式。注意该算法要求图中不存在负权边。
问题描述
在无向图 G=(V,E) 中，假设每条边 E[i] 的长度为 w[i]，找到由顶点 V0 到其余各点的最短路径。（单源最短路径）
狄杰斯特拉算法
狄杰斯特拉(Dijkstra)算法思想
按路径长度递增次序产生最短路径算法：
把V分成两组：
（1）S：已求出最短路径的顶点的集合
（2）V-S=T：尚未确定最短路径的顶点集合
将T中顶点按最短路径递增的次序加入到S中，
保证：（1）从源点V0到S中各顶点的最短路径长度都不大于
从V0到T中任何顶点的最短路径长度
（2）每个顶点对应一个距离值
S中顶点：从V0到此顶点的最短路径长度
T中顶点：从V0到此顶点的只包括S中顶点作中间
顶点的最短路径长度
依据：可以证明V0到T中顶点Vk的最短路径，或是从V0到Vk的
直接路径的权值；或是从V0经S中顶点到Vk的路径权值之和
（反证法可证）
求最短路径步骤
算法步骤如下：
1. 初使时令 S={V0},T={其余顶点}，T中顶点对应的距离值
若存在<V0,Vi>，d(V0,Vi)为<V0,Vi>弧上的权值
若不存在<V0,Vi>，d(V0,Vi)为∝
2. 从T中选取一个其距离值为最小的顶点W且不在S中，加入S
3. 对其余T中顶点的距离值进行修改：若加进W作中间顶点，从V0到Vi的
距离值缩短，则修改此距离值
重复上述步骤2、3，直到S中包含所有顶点，即W=Vi为止
狄杰斯特拉算法的原理
首先，引进一个辅助向量D，它的每个分量D表示当前所找到的从始点v到每个终点vi的最短路径的长度。如D[3]=2表示从始点v到终点3的路径相对最小长度为2。这里强调相对就是说在算法过程中D的值是在不断逼近最终结果但在过程中不一定就等于最短路径长度。它的初始状态为：若从v到vi有弧，则D为弧上的权值；否则置D为∞。显然，长度为 D[j]=Min{D | vi∈V} 的路径就是从v出发的长度最短的一条最短路径。此路径为(v,vj)。 那么，下一条长度次短的最短路径是哪一条呢？假设该次短路径的终点是vk，则可想而知，这条路径或者是(v,vk)，或者是(v,vj,vk)。它的长度或者是从v到vk的弧上的权值，或者是D[j]和从vj到vk的弧上的权值之和。 一般情况下，假设S为已求得最短路径的终点的集合，则可证明：下一条最短路径（设其终点为X）或者是弧(v,x)，或者是中间只经过S中的顶点而最后到达顶点X的路径。因此，下一条长度次短的最短路径的长度必是D[j]=Min{D | vi∈V-S} 其中，D或者是弧(v,vi)上的权值，或者是D[k](vk∈S)和弧(vk,vi)上的权值之和。 狄杰斯特拉算法描述如下： 1）arcs表示弧上的权值。若不存在，则置arcs为∞（在本程序中为MAXCOST）。S为已找到从v出发的最短路径的终点的集合，初始状态为空集。那么，从v出发到图上其余各顶点vi可能达到的最短路径长度的初值为D=arcs[Locate Vex(G,v),i] vi∈V 2）选择vj，使得D[j]=Min{D | vi∈V-S} 3）修改从v出发到集合V-S上任一顶点vk可达的最短路径长度。
打开IDE
我们创建一个工程
类声名如下
#if !defined(AFX_GRAPH_H__EDF8E290_EF85_4726_851D_F684E5602E43__INCLUDED_)
#define AFX_GRAPH_H__EDF8E290_EF85_4726_851D_F684E5602E43__INCLUDED_
#if _MSC_VER > 1000
#pragma once
#endif // _MSC_VER > 1000
//图的相关数据类型的定义graph.h
//最多顶点数
const int MaxV=10;
//最大权值
const int MaxValue=99;
//定义邻接表中的边结点类型
struct edgenode {
int adjvex; //邻接点域
int weight; //权值域
edgenode* next;//指向下一个边结点的链域
};
//定义邻接表类型
typedef edgenode** adjlist;
//邻接矩阵类定义
class AdjMatrix
{private:
char g[MaxV];//顶点信息数组
int size;//当前顶点数
int GA[MaxV][MaxV];//定义邻接矩阵GA
int numE;//当前边数
public:
//构造函数,初始化图的邻接矩阵
AdjMatrix(int n,int k2);
//判断图空否
bool GraphEmpty() {return size==0;}
//取当前顶点数
int NumV() {return size;}
//取当前边数
int NumEdges() {return numE;}
//取顶点i的值
char GetValue(const int i);
//取弧<v1,v2>的权
int GetWeight(const int v1,const int v2);
//在位置pos处插入顶点V
void InsertV(const char &V,int pos);
//插入弧<v1,v2>,权为weight
void InsertEdge(const int v1,const int v2,int weight);
//删除顶点i与顶点i相关的所有边
char DeleteVE(const int i);
//删除弧<v1,v2>
void DeleteEdge(const int v1,const int v2);
//建立图的邻接矩阵
void CreateMatrix(int n, int k1,int k2);
//k1为0则无向否则为有向,k2为0则无权否则为有权
//从初始点vi出发深度优先搜索由邻接矩阵表示的图
void dfsMatrix(bool*& visited,int i,int n,int k2);
//从初始点vi出发广度优先搜索由邻接矩阵表示的图
void bfsMatrix(bool*& visited,int i,int n,int k2);
//由图的邻接矩阵得到图的邻接表
void graphChange(adjlist &GL,int n,int k2);
//检查输入的边序号是否越界,若越界则重输
void Check(int n,int& i,int& j);
//由图的邻接矩阵建立图
void Creatgraph(int n,int k2);
//对非连通图进行深度优先搜索
void dfsMatrix(int n,int k2);
//对非连通图进行广度优先搜索
void bfsMatrix(int n,int k2);
};
#endif // !defined(AFX_GRAPH_H__EDF8E290_EF85_4726_851D_F684E5602E43__INCLUDED_)类实现如下
#include "stdafx.h"
#include "graph.h"
//图的相关运算的实现graph.cpp
#include"graph.h"
//构造函数,初始化图的邻接矩阵
AdjMatrix::AdjMatrix(int n,int k2)
{int i,j;
if(k2==0){//初始化无(有)向无权图
for(i=0;i<n;i++)
for(j=0;j<n;j++)
GA[i][j]=0;}
else {//初始化无(有)向有权图
for(i=0;i<n;i++)
for(j=0;j<n;j++)
if(i==j) GA[i][j]=0;
else GA[i][j]=MaxValue;}
size=numE=0;
}
//建立图的邻接矩阵
void AdjMatrix::CreateMatrix(int n,int k1,int k2)
//k1为0则无向否则为有向,k2为0则无权否则为有权
{int i,j,k,e,w;
cout<<"输入图的总边数:";
cin>>e;
if(k1==0 && k2==0) { //建立无向无权图
cout<<"输入"<<e<<"条无向无权边的起点和终点序号!"<<endl;
for(k=1; k<=e; k++) {
cin>>i>>j;
Check(n,i,j);
GA[i][j]=GA[j][i]=1;}
}
else if(k1==0 && k2!=0) { //建立无向有权图
cout<<"输入"<<e<<"条无向带权边的起点和终点序号及权值!"<<endl;
for(k=1; k<=e; k++) {
cin>>i>>j>>w;
Check(n,i,j);
GA[i][j]=GA[j][i]=w;}
}
else if(k1!=0 && k2==0) { //建立有向无权图
cout<<"输入"<<e<<"条有向无权边的起点和终点序号!"<<endl;
for(k=1; k<=e; k++) {
cin>>i>>j;
Check(n,i,j);
GA[i][j]=1;}
}
else if(k1!=0 && k2!=0) { //建立有向有权图
cout<<"输入"<<e<<"条有向有权边的起点和终点序号及权值!"<<endl;
for(k=1; k<=e; k++) {
cin>>i>>j>>w;
Check(n,i,j);
GA[i][j]=w;}}
numE=e;
cout<<"创建后的邻接矩阵:\n";
for(i=0;i<n;i++)
{for(j=0;j<n;j++)
cout<<setw(4)<<GA[i][j];
cout<<endl;}
}
//从初始点vi出发深度优先搜索由邻接矩阵表示的图
void AdjMatrix::dfsMatrix(bool*& visited,int i,int n,int k2)
{cout<<g[i]<<':'<<i<<" ";
visited[i]=true; //标记vi已被访问过
for(int j=0; j<n; j++) //依次搜索vi的每个邻接点
if(k2==0)
{if(i!=j&&GA[i][j]!=0&&!visited[j])
dfsMatrix(visited,j,n,k2);}
else
if(i!=j&&GA[i][j]!=MaxValue&&!visited[j])
dfsMatrix(visited,j,n,k2);
}
//从初始点vi出发广度优先搜索由邻接矩阵表示的图
void AdjMatrix::bfsMatrix(bool*& visited,int i,int n,int k2)
{const int MaxLength=30;
//定义一个队列q,其元素类型应为整型
int q[MaxLength]={0};
//定义队首和队尾指针
int front=0,rear=0;
//访问初始点vi
cout<<g[i]<<':'<<i<<" ";
//标记初始点vi已访问过
visited[i]=true;
//将已访问过的初始点序号i入队
q[++rear]=i;
//当队列非空时进行循环处理
while(front!=rear) {
//删除队首元素,第一次执行时k的值为i
front=(front+1)%MaxLength;
int k=q[front];
//依次搜索vk的每一个可能的邻接点
for(int j=0;j<n;j++)
if(k2==0)
{if(k!=j&&GA[k][j]!=0&&!visited[j])
{//访问一个未被访问过的邻接点vj
cout<<g[j]<<':'<<j<<" ";
visited[j]=true; //标记vj已访问过
rear=(rear+1)%MaxLength;//顶点序号j入队
q[rear]=j;
}
}
else
if(k!=j&&GA[k][j]!=MaxValue&&!visited[j])
{//访问一个未被访问过的邻接点vj
cout<<g[j]<<':'<<j<<" ";
visited[j]=true; //标记vj已访问过
rear=(rear+1)%MaxLength;//顶点序号j入队
q[rear]=j;
}
}}
//检查输入的边序号是否越界,若越界则重输
void AdjMatrix::Check(int n,int& i,int& j)
{while(1) {
if(i<0||i>=n||j<0||j>=n)
cout<<"输入有误,请重输!";
else return;
cin>>i>>j;
}
}
//由图的邻接矩阵得到图的邻接表
void AdjMatrix::graphChange(adjlist &GL,int n,int k2)
{int i,j;
if(k2==0)
{for(i=0;i<n;i++){
for(j=0;j<n;j++)
if(GA[i][j]!=0) {
edgenode* p=new edgenode;
p->adjvex=j;
p->next=GL[i];GL[i]=p;
cout<<'('<<i<<','<<p->adjvex<<") ";}
cout<<endl;}}
else {
for(i=0;i<n;i++){
for(j=0;j<n;j++)
if(GA[i][j]!=0 && GA[i][j]!=MaxValue) {
edgenode* p=new edgenode;
p->adjvex=j;p->weight=GA[i][j];
p->next=GL[i];GL[i]=p;
cout<<'('<<i<<','<<p->adjvex<<','<<p->weight<<") ";}
cout<<endl;}
}}
//由图的邻接矩阵建立图
void AdjMatrix::Creatgraph(int n,int k2)
{int i,j,k,m=0;
if(k2==0)
{for(i=0;i<n;i++){
k=i;
for(j=0;j<n;j++)
if(GA[i][j]!=0)
if(k==i&&m<n)
{g[m]='A'+m;size++;
cout<<g[m]<<'('<<i<<','<<j<<") ";
m++;
}
}
cout<<endl;}
else {
for(i=0;i<n;i++){
k=i;
for(j=0;j<n;j++)
if(GA[i][j]!=0 && GA[i][j]!=MaxValue)
if(k==i&&m<n)
{g[m]='A'+m;size++;
cout<<g[m]<<'('<<i<<','<<j<<','<<GA[i][j]<<") ";
m++;
}
}
cout<<endl;}
g[n]='\0';
}
//取顶点i的值
char AdjMatrix::GetValue(const int i)
{if(i<0||i>size)
{cerr<<"参数i越界!\n";exit(1);}
return g[i];
}
//取弧<v1,v2>的权
int AdjMatrix::GetWeight(const int v1,const int v2)
{if(v1<0||v1>size||v2<0||v2>size)
{cerr<<"参数v1或v2越界!\n";exit(1);}
return GA[v1][v2];
}
//在位置pos处插入顶点V
void AdjMatrix::InsertV(const char &V,int pos)
{int i;
if(size==MaxV)
{cerr<<"表已满,无法插入!\n";exit(1);}
if(pos<0||pos>size)
{cerr<<"参数pos越界!\n";exit(1);}
for(i=size;i>pos;i--) g[i]=g[i-1];
g[pos]=V;
size++;
}
//插入弧<v1,v2>,权为weight
void AdjMatrix::InsertEdge(const int v1,const int v2,int weight)
{if(v1<0||v1>size||v2<0||v2>size)
{cerr<<"参数v1或v2越界!\n";exit(1);}
GA[v1][v2]=weight;
numE++;
}
//删除顶点v与顶点v相关的所有边
char AdjMatrix::DeleteVE(const int v)
{for(int i=0;i<size;i++)
for(int j=0;j<size;j++)
if((i==v||j==v)&&GA[i][j]>0&&GA[i][j]<MaxValue)
{GA[i][j]=MaxValue;
numE--;}
if(size==0)
{cerr<<"表已空,无元素可删!\n";exit(1);}
if(v<0||v>size-1)
{cerr<<"参数v越界!\n";exit(1);}
char temp=g[v];
for(int i=v;i<size-1;i++) g[i]=g[i+1];
size--;
g[size]='\0';
return temp;
}
//删除弧<v1,v2>
void AdjMatrix::DeleteEdge(const int v1,const int v2)
{if(v1<0||v1>size||v2<0||v2>size||v1==v2)
{cerr<<"参数v1或v2出错!\n";exit(1);}
GA[v1][v2]=MaxValue;
numE--;
}
//对非连通图进行深度优先搜索
void AdjMatrix::dfsMatrix(int n,int k2)
{bool *vis=new bool[NumV()];
for(int i=0;i<NumV();i++) vis[i]=false;
for(int i=0;i<NumV();i++)
if(!vis[i]) dfsMatrix(vis,i,n,k2);
delete []vis;
}
//对非连通图进行广度优先搜索
void AdjMatrix::bfsMatrix(int n,int k2)
{bool *vis=new bool[NumV()];
for(int i=0;i<NumV();i++) vis[i]=false;
for(int i=0;i<NumV();i++)
if(!vis[i]) bfsMatrix(vis,i,n,k2);
delete []vis;
}
代码调用如下
#include "stdafx.h"
#include "graph.h"
//网G从下标v0到其他顶点的最短距离dist和最短路径下标path
void PShortPath(AdjMatrix &G,int v0,int dist[],int path[])
{int n=G.NumV();
int *s=new int[n];
int mindis,i,j,u;
for(i=0;i<n;i++)
{dist[i]=G.GetWeight(v0,i);
s[i]=0;
if(i!=v0&&dist[i]<MaxValue) path[i]=v0;
else path[i]=-1;
}
s[v0]=1;//标记顶点v0已从集合T加入到集合S中
//在当前还未找到最短路径的顶点集中选取具有最短距离的顶点u
for(i=1;i<n;i++)
{mindis=MaxValue;
for(j=0;j<n;j++)
if(s[j]==0&&dist[j]<mindis)
{u=j;
mindis=dist[j];
}
//当已不再存在路径时算法结束;此语句对非连通图是必需的
if(mindis==MaxValue) return;
s[u]=1;//标记顶点u已从集合T加入到集合S中
//修改从v0到其他顶点的最短距离和最短路径
for(j=0;j<n;j++)
if(s[j]==0&&G.GetWeight(u,j)<MaxValue&&
dist[u]+G.GetWeight(u,j)<dist[j])
{//顶点v0经顶点u到其他顶点的最短距离和最短路径
dist[j]=dist[u]+G.GetWeight(u,j);
path[j]=u;
}
}
}
//算法测试
void main()
{cout<<"运行结果:\n";
int n=6,k1=1,k2=1;
AdjMatrix g(n,k2);
g.CreateMatrix(n,k1,k2);
cout<<"\n输出邻接矩阵相应图的每个顶点:\n";
g.Creatgraph(n,k2);
int m=g.NumV();
int *dist=new int[m];
int *path=new int[m];
int v0=0;
PShortPath(g,v0,dist,path);
cout<<"从顶点"<<g.GetValue(v0)
<<"到其他各顶点的最短距离为:\n";
for(int i=0;i<m;i++)
cout<<"到顶点"<<g.GetValue(i)
<<"的最短距离为:"<<dist[i]<<endl;
cout<<"从顶点"<<g.GetValue(v0)
<<"到其他各顶点的最短路径的前一顶点为:\n";
for(int i=0;i<m;i++)
if(path[i]!=-1)
cout<<"到顶点"<<g.GetValue(i)<<"的前一顶点为:"
<<g.GetValue(path[i])<<endl;
cin.get();cin.get();}
效果如下
代码下载如下
http://download.csdn.net/detail/yincheng01/4789963