反对称矩阵的特有性质
反对称矩阵(A = -A^T)
１．不存在奇数级的可逆反对称矩阵.
２．反对称矩阵的主对角元素全为零.
３．反对称矩阵的秩为偶数
４．反对称矩阵的特征值成对出现（实反对称的特征值为０或纯虚数）
５．反对称矩阵的行列式为非负实数
６．设A为反对称矩阵，则A合同于矩阵
(D = egin{bmatrix} 0 & 1 & & & & & & \ -1 & 0 & & & & & & \ & & ddots & & & & & \ & & & 0 & 1 & & & \ & & & -1 & 0 & & & \ & & & & & 0 & & \ & & & & & & ddots & \ & & & & & & & 0 \ end{bmatrix})
证明
数学归纳法可证6
因为Ａ为反对称矩阵，设
(A = egin{bmatrix} 0 & a_{12} & dots & a_{1n}\ -a_{12} & 0 & dots & a_{2n} \ vdots & vdots & ddots & vdots \ -a_{1n} & -a_{2n} & dots & 0 \ end{bmatrix})
(1)当ｎ= 1时 结论显然成立。
(2)当 n = 2时
若(a_{12} = 0) 结论显然也成立。
若$a_{12}
ot=0 (，取
)U = egin{bmatrix}
0 & 1
-1 & a_{12}^{-1}
end{bmatrix}(
则有
)U^TAU =
egin{bmatrix}
0 & 1
-1 &0
end{bmatrix}$，
所以Ａ与Ｄ合同。
(3)假定对于阶数小于ｎ时反对称矩阵A合同于Ｄ
现证明对(n(n leq 3))的反对称矩阵A也合同于D
若Ａ的第一行全为０，则有
(A = egin{bmatrix}
0 & 0 \
0 & B \
end{bmatrix})
其中Ｂ是n-1阶反对称矩阵，则存在n-1阶可逆矩阵Q与矩阵Ｄ，使得(Q^TBQ = D)
取(S = egin{bmatrix}
0 & 0 \
0 & Q \
end{bmatrix})
则(S^TAS = egin{bmatrix}
0 & 0 \
0 & Q^TBQ \
end{bmatrix})
再令(T = egin{bmatrix}
0 & 1 \
I_{n-1} & 0 \
end{bmatrix})
此处(I_{n-1}) 是n-1阶单位矩阵
有(T^TS^TAST = egin{bmatrix}
Q^TBQ & 0 \
0 & 0 \
end{bmatrix})
取(P=ST)，则有
(P^TAP = egin{bmatrix}
Q^TBQ & 0 \
0 & 0 \
end{bmatrix})
则Ａ合同于Ｄ
2.若矩阵Ａ的第一行不全为０)
(A = egin{bmatrix}
0 & a_{12} & dots & a_{1n} \
-a_{12} & & & \
vdots & & B & \
-a_{1n} & & & \
end{bmatrix})
不妨设(a_{12}
ot= 0)，可对Ａ实施初等变换如下：
(A_2=Q_2^TAQ_2 =
egin{bmatrix}
a_{12}^{-1} & & & \
& 1 & & \
& & ddots & \
& & & 1 \
end{bmatrix}
egin{bmatrix}
0 & a_{12} & dots & a_{1n} \
-a_{12} & & & \
vdots & & B & \
-a_{1n} & & & \
end{bmatrix}
egin{bmatrix}
a_{12}^{-1} & & & \
& 1 & & \
& & ddots & \
& & & 1 \
end{bmatrix} = egin{bmatrix}
0 & 1 & dots & a_{12}^{-1}a_{1n} \
-1 & & & \
vdots & & B_2 & \
-a_{12}^{-1}a_{1n} & & & \
end{bmatrix})
再取(Q_j = egin{bmatrix}
1 & & & & & \
& 1 & dots & -a_{12}^{-1}a_{1j} & dots & 0 \
& & ddots & & & \
& & & 1 & & \
& & & & ddots & \
& & & & & 1 \
end{bmatrix} qquad s.t. 3 leq j leq n)
可得(A_n = Q_n^T dots Q_3^TA_2Q_3 dots Q_n = egin{bmatrix}
0 & 1 & \
-1 & 0 & \
& & B_n \
end{bmatrix})
由于所作为对称式的变换，所以B_n依旧为反对称矩阵，所以存在n-2阶可逆矩阵S使得(S^TBS = egin{bmatrix}
0 & 1 & & & & & & \
-1 & 0 & & & & & & \
& & ddots & & & & & \
& & & 0 & 1 & & & \
& & & -1 & 0 & & & \
& & & & & 0 & & \
& & & & & & ddots & \
& & & & & & & 0 \
end{bmatrix})
令(Q = Q_2 dots Q_n)且(S' = egin{bmatrix}
I_2 & 0 \
0 & S \
end{bmatrix})，此处(I_2)为２阶单位矩阵
则有(Q^TS^TASQ = egin{bmatrix}
0 & 1 & & & & & & \
-1 & 0 & & & & & & \
& & ddots & & & & & \
& & & 0 & 1 & & & \
& & & -1 & 0 & & & \
& & & & & 0 & & \
& & & & & & ddots & \
& & & & & & & 0 \
end{bmatrix})
所以Ａ是Ｄ的合同矩阵。
引理
由上可知(A=UDU^T)，由于Ｕ为满秩（初等变换矩阵），所以Ａ的秩等于Ｄ的秩。
Ｄ的秩为偶数，所以Ａ的秩也为偶数，即，反对称矩阵的秩为偶数