1008-----算法笔记----------0-1背包问题（动态规划求解）

1.问题描述

　　给定n种物品和一个背包，物品i的重量是wi，其价值为vi，背包的容量为C。问：应该如何选择装入背包的物品，使得装入背包中物品的总价值最大？

2.问题分析

　　上述问题可以抽象为一个整数规划问题，即求满足 （a）Σw_ix_i ≤ C；（b）x_i ∈(0,1),  1≤i≤n；条件下，∑v_ix_i最大时的一个物品xi序列。分析问题可以发现，该问题具有最优子结构性质，那么就可以尝试用动态规划方法求解，而动态规划求解的关键就是列出问题的递归关系表达式。

　　设m(i,j)为背包容量为j，可选物品为i，i+1，...n时0-1背包问题的最优质，那么可有如下递归式：

　　_{m(i,j) =} { ^{max( m(i+1, j), m(i+1, j-wi)+vi); 　　j>=w_i;}

       { m(i+1, j);　　　　　　　　　　　　　　 j<w_i;

要求的是m(1,c),此时问题就转化为填充m数组的问题了，以n = 5， c = 10， w[] = {2,2,6,5,4},v[] = {6,3,5,4,6},填充的过程如下图所所示，主要是用上述递归式求值，考虑当前物品能否放入，放入当前物品和不放入导致最终的价值哪个大，图中阴影部分为回溯求xi的过程，表示0,1,4号物品被放入背包中。

i/j	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
4	0	0	0	6	6	6	6	6	6	6
3	0	0	0	6	6	6	6	6	10	10
2	0	0	0	6	6	6	6	6	10	15
1	0	3	3	6	6	9	9	9	9	9
0	0	6	6	9	9	12	12	15	15	15

 

3.源码

　　3.1 非递归

#include <stdio.h>

#define N 1024
#define max(x, y) (x > y ? x : y)
#define min(x, y) (x < y ? x : y)

void knapsack(int *w, int *v, int c, int n, int (*m)[N]);
void traceback(int *w, int (*m)[N], int *x, int n, int c);




int main(int argc, const char *argv[])
{
    int n, c, w[N], v[N], m[N][N], x[N], i;
    scanf("%d%d", &n, &c);
    for(i = 0; i < n; i++)
        scanf("%d", &w[i]);
    for(i = 0; i < n; i++)
        scanf("%d", &v[i]);

    knapsack(w, v, c, n-1, m);      //这里传的是数组的最大下标
    traceback(w, m, x, n-1, c);     //求出是否装载的序列 x[i]

    printf("Max v: %d
", m[0][c]);
    for(i = 0; i < n; i++)
        printf("x[%d] = %d	", i, x[i]);
    printf("
");

    return 0;
}

void knapsack(int *w, int *v, int c, int n, int (*m)[N]){
    int j, jMax, i;
    jMax = min(w[n] - 1, c);
    for(j = 0; j <= jMax; j++)      //求m[n][]
        m[n][j] = 0;
    for(j = c; j > jMax; j--)
        m[n][j] = v[n];

    for(i = n-1; i > 0; i--){       //依次求m[n-1][] - m[1]
        jMax = min(w[i]-1, c);
        for(j = 0; j <= jMax; j++){
            m[i][j] = m[i+1][j];
        }
        for(j = c; j > jMax; j--){
            m[i][j] = max(m[i+1][j], m[i+1][j-w[i]] + v[i]);
        }
    }

    m[0][c] = m[1][c];              //求m[0][]
    if(w[0] < c){
        m[0][c] = max(m[1][c], m[1][c-w[0]] + v[0]);
    }
}

void traceback(int *w, int (*m)[N], int *x, int n, int c){
    int i;
    for(i = 0; i < n-1; i++){
        if(m[i][c] == m[i+1][c])    //根据m数组 判断是否装进去
            x[i] = 0;
        else{
            x[i] = 1;
            c -= w[i];
        }
    }
    x[n] = (m[n][c] > 0) ? 1 : 0;
}

　　3.2 递归

#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>
#include <string.h>

#define N 5
#define C 10

int w[] = {2, 2, 6, 5,4};           //使用递归 避免传递太多参数，不清晰
int v[] = {6, 3, 5, 4,6};           //因此设置成全局变量
int m[N][C], x[N];

int knapsack(int i, int j);
void traceback();

int main(int argc, const char *argv[])
{
    int i;
    knapsack(0, C);
    traceback();

    printf("Max :%d
", m[0][10]);
    for(i = 0; i < N; i++)
        printf("x[%d] = %d	", i, x[i]);
    printf("
");

    return 0;
}

int knapsack(int i, int j){
    if(i == N-1){
        m[i][j] = (j > w[i] ? v[i] : 0);
        return  m[i][j];
    }

    int ret1, ret2;
    if(j < w[i]){
        m[i][j] = knapsack(i+1, j);
    }
    else{
        ret1 = knapsack(i+1, j);
        ret2 = knapsack(i+1, j-w[i]) + v[i];
        m[i][j] =  ret1 > ret2 ? ret1 : ret2;
    }
    return m[i][j];

}


void traceback(){
    int i, n = N-1, c = C;
    for(i = 0; i < n; i++){
        if(m[i][c] == m[i+1][c])    //根据m数组 判断是否装进去
            x[i] = 0;
        else{
            x[i] = 1;
            c -= w[i];
        }
    }
    x[n] = (m[n][c] > 0) ? 1 : 0;
}

　　3.3 书上有种改进的算法，采用跳跃点实现，暂时还没看懂，也许过两天在看就懂了呢。