已知椭圆焦点为$F_1(-1,0),F_2(1,0)$,且椭圆与直线$y=x-sqrt{3}$相切,求
(1)椭圆的方程
(2)过$F_1$作两条相互垂直的直线$l_1,l_2$与椭圆相交于$P,Q,M,N$,求四边形$PNQM$的面积的最大值和最小值.
解答:
1)由直线与椭圆相切的判别法则得
egin{equation*}
left{ egin{aligned}
a^2+b^2-3 &= 0 \
a^2-b^2&=1
end{aligned}
ight.
end{equation*}
得椭圆方程$dfrac{x^2}{2}+y^2=1$
2)由焦点弦长公式:$L=dfrac{2ab^2}{b^2+c^2sin^2alpha}=dfrac{2sqrt{2}}{1+sin^2alpha}$
故$S=dfrac{1}{2}|PQ||MN|=dfrac{4}{(1+sin^2alpha)(1+cos^2alpha)}=dfrac{4}{2+dfrac{1}{4}sin^22alpha}in[dfrac{16}{9},2]$