设函数$f(x)=dfrac{1}{x-a}-dfrac{lambda}{x-2}$,其中$a,lambdain R$
记$A_1={(x,y)|x>0,y>0},A_2={(x,y)|x<0,y>0},A_3={(x,y)|x>0,y<0},$
$A_4={(x,y)|x<0,y<0},M={(x,y)|y=f(x)}$,
若对任意的$lambdain(1,3),Mcap A_i
e varnothing(i=1,2,3,4) $,求$a$的范围.
分析:
考虑到$limlimits_{xlongrightarrow 2^+}f(x)=-infty;limlimits_{xlongrightarrow 2^-}f(x)=+infty$
所以图像恒过第一第四象限；
当$a<0$时,$limlimits_{xlongrightarrow a^-}f(x)=-infty;limlimits_{xlongrightarrow a^+}f(x)=+infty$此时图像过第二第四象限,满足题意；
当$age0$时,由于$f(x)$是由两个基本初等函数通过加减乘除及其复合运算构成的,其在定义区间上连续,故只需考虑
$f(x)=dfrac{1}{x-a}-dfrac{lambda}{x-2}=0$对任意$lambdain(1,3)$在$xin(-infty,0)$有解.
即$x=dfrac{lambda a-2}{lambda-1}$对任意$lambdain(1,3)$在$xin(-infty,0)$有解.得$ale dfrac{2}{3}$特别的$lambda=2,a=0.5$时如图：
可以说明必要性也是充分性.