MT【301】值域宽度

(2015浙江理科)
已知函数$f(x)=x^2+ax+b,(a,bin R)$.记$M(a,b)$是$|f(x)|$在区间$[-1,1]$上的最大值.
(1)证明:当$|a|ge2$时,$M(a,b)ge2$;
(2)当$a,b$满足$M(a,b)le 2$,求$|a|+|b|$的最大值.

分析:(1)$minlimits_{bin R}M(a,b)=dfrac{f(x)_{max}-f(x)_{min}}{2}=|dfrac{f(1)-f(-1)}{2}|=|a|ge2$
(2)由题意$|f(1)|le Mle2,|f(-1)|le Mle2$
故$|a|+|b|=max{|a+b|,|a-b|}=max{|f(1)-1|,|f(-1)-1|}le 3$

当$a=2,b=-1$时取到最大值3.
注:(1)中改编为$0le ale 2$时,求证$M(a,b)ge dfrac{1}{2}$