一阶常微分方程通解
[frac{dy}{dx}+p(x)y=0
\
]
[*齐次微分方程通解:\
y=ce^{-int{p(x)}dx}
]
[frac{dy}{dx}+p(x)y=q(x)
]
[*非齐次微分方程通解:\
y=e^{-int{p(x)dx}}(c+int{q(x)e^{int{p(x)dx}}dx})
]
二阶常系数齐次线性微分方程通解
[y''+py'+qy=0(*)，其中p,q为常数
\
求解Delta = r^2+pr+q=0
\
解出Delta 两个根 r_1,r_2
]
| $$r_1,r_2形式$$ | $$y''+py'+qy=0(*)通解$$ |
|---|---|
| 两个不相等实根 | $$y=c_1e{r_1x}+c_2e{r_2x}$$ |
| 两个相等实根 | $$y=(c_1+c_2x)e^{r_1x}$$ |
| 一对共轭复根(r_1=alpha+ieta,r_2=alpha-ieta) | (y=e^{alpha x}(c_1cos{eta}x+c_2sin{eta}x)) |
二阶常系数非齐次微分方程特解
[y''+py'+qy=f(x)(*)，其中p,q为常数
]
[1.
f(x)为e^{lambda x}P(x)型.(P(x)是关于x的多项式且lambda 常为0)
\
求解Delta = r^2+pr+q=0
\
解出Delta 两个特征根 r_1,r_2
特解：y^{*}=x^{k}*Q(x)*e^{lambda x},Q(x)是和P(x)相同形式的多样式\(例P(x)=x^2+2x,则Q(x)为ax^2+bx+c,abc都是待定系数)
\
]
| $$若lambda 不是特征根$$ | $$$$(k=0,y^{*}=Q(x)*e^{lambda x}) |
|---|---|
| (若lambda 是单根) | (k=1,y^*=x*Q(x)*e^{lambda x}) |
| (若lambda 是二重根) | (k=2,y^*=x^2*Q(x)*e^{lambda x}) |
[2.
f(x)为e^{lambda x}P(x)cos{eta}或e^{lambda x}P(x)sin{eta}型.(P(x)是关于x的多项式且lambda 常为0)
\
求解Delta = r^2+pr+q=0
\
解出Delta 两个特征根 r_1,r_2
]
| $$若alpha+ eta i不是特征根$$ | $$y*=e{lambda x}Q(x)(Acos{eta x}+Bsin{eta}x)$$ |
|---|---|
| (若alpha+ eta i是特征根) | (y^*=e^{lambda x}*x*Q(x)) |
例
[微分方程y''-4y'=e^{2x}的通解形式
\
解:令r^2-4r=0
\
解得r_1=2,r_2=-2
\
r_1,r_2为两个不相等实根，齐次通解为 y = c_1e^{2 x}+c_2e^{-2x}
\
f(x)=e^{2x}可知lambda 值为2 ，是单根，则y^*=xQ(x)e^{2x}
\
f(x)系数为0，所以Q(x) = ax^{0} = a
\
特解y^*=axe^{2x}
\
将特解代入解得a=frac{1}{4}
\
通解形式为 y=c_1e^{2x}+c_2e^{-2x}+frac{1}{4}xe^{2x}
]