Andrew Ng机器学习课程笔记--week7(SVM)

本周主要学习SVM

一、内容概要

Large Margin Classification
- Optimization Objective（优化Objective（损失函数））
- Large Margin Intuition（大边距的直观理解）
- Mathematics Behind Large Magin Classification（最大间距分类器背后的数学推导）
Kernels
- Kernels 1
- Kernels 2
SVMs in Practice
- Using An SVM

二、重点&难点

1. Large Margin Classification

1) Optimization Objective（优化Objective（损失函数））

回顾一下逻辑回归模型

[h_θ(x) = frac{1}{1+e^{-θ^Tx}} ]

[J(θ)=frac{1}{m} [sum_{i=1}^{m} y^{(i)}( -logh_θ(x^{(i)})) + (1-y^{(i)})(-log(1-h_θ(x^{(i)}) ) ] + frac{λ}{2m}sum_{j=1}^{n}θ_j^2 ]

在SVM中对cost function作如下等效变化（即将log函数替换成折线）

折线化变形
替换后cost function变为

[J(θ)=frac{1}{m} [sum_{i=1}^{m} y^{(i)}Cost_1(θ^Tx^{(i)}) + (1-y^{(i)})Cost_0(θ^Tx^{(i)}) ] + frac{λ}{2m}sum_{j=1}^{n}θ_j^2 ]

Cost的下标分别表示y所对应的值。

去m变形
另外我们知道为了得到最优化的一组θ，我们需要通过求(min J(θ))进而得出一组解，所以上式中的m可以约掉，因为m是常数，所以对于求最小值没有影响，所以cost function可以进一步变形为：

[J(θ)= [sum_{i=1}^{m} y^{(i)}Cost_1(θ^Tx^{(i)}) + (1-y^{(i)})Cost_0(θ^Tx^{(i)}) ] + frac{λ}{2}sum_{j=1}^{n}θ_j^2 ]

乘以C变形
继续变形前我们可以假设上式左边为训练数据集项(Training data set term),记为A，右侧为正则项，记为λB，所以有(J(θ) = A+λB)。
按照上面所说，此时在等式两侧乘以一个数不会影响最终的结果，假设乘以一个C（(C=frac{1}{λ})），所以有(J(θ)=CA+B)
此时有

[J(θ)= C[sum_{i=1}^{m} y^{(i)}Cost_1(θ^Tx^{(i)}) + (1-y^{(i)})Cost_0(θ^Tx^{(i)}) ] + frac{1}{2}sum_{j=1}^{n}θ_j^2 ]

2) Large Margin Intuition（大边距的直观理解）

上面将普通逻辑回归中的log函数变形后得到的曲线如下：

区别：

If y=1, we want (θ^Tx≥1) (not just ≥0)
If y=0, we want (θ^Tx≤-1) (not just ≤0)

和引入正则项同理，当C取非常大的值时，我们希望如下蓝色圈住的部分接近于0，即使得A=0

但是要如何使A=0呢？参考上面的折线图，我们可以知道要使得A=0，则需要满足：

当y=1,则(θ^Tx≥1)
当y=0,则(θ^Tx≤-1)

此时即等价于

3) Mathematics Behind Large Magin Classification

在推导公式之前需要回顾一下向量内积的概念。
已知SVM的优化目标是：

[minfrac{1}{2}sum_{j=1}^nθ_j^2 且满足 ]

[当y=1时,theta^Tx^{(i)}≥1 ]

[当y=0时,theta^Tx^{(i)}≤-1 ]

为了方便理解，令(θ_0=0)，特征数n=2，则有

[minfrac{1}{2}sum_{j=1}^nθ_j^2 = frac{1}{2}(θ_1^2+θ_2^2)=frac{1}{2}sqrt{(θ_1^2+θ_2^2)}^2=frac{1}{2}||θ||^2 ]

其中，||θ||为向量θ的长度或称为θ的范数。
如果将(θ^Tx(i))看成是经过原点(因为θ₀=0) 的两个向量相乘，如下图：

则(θ^Tx^{(i)})等价于向量(x^{(i)})在向量θ上的投影(p^{(i)})与θ的范数||θ||相乘，即

[θ^Tx^{(i)} = p^{(i)}||θ|| = θ_1x_1^{(1)}+θ_2x_1^{(2)} ]

故SVM优化目标变为

[minfrac{1}{2}||θ||^2 且满足 ]

[当y=1时,p^{(i)}||θ||≥1 ]

[当y=0时,p^{(i)}||θ||≤-1 ]

直观的理解(p^{(i)}||θ||)的意义。
假设theta₀=0,下面展示了一个小间距决策边界的例子。（绿色为决策边界）

首先解释一下为什么θ向量会垂直于决策边界。
因为θ的斜率是(frac{θ_2}{θ_1}),决策边界表达式为(θ^Tx=0),即(θ_1x_1+θ_2x_2=0),斜率为(frac{θ_2}{θ_1})，所以θ向量会垂直于决策边界。
看第一个例子(x¹)
假如决策边界最开始如下图

将(x^1)投影到θ向量，得到(p^1)，可以看到(p^1)值很小。SVM的优化目标是(minfrac{1}{2}||θ||^2)，但是还需要满足(|p^{(i)}||θ|||≥1)，而又因为(p^1)值很小，所以||θ||值就需要较大才行，显然这与优化目标背道而驰，所以还有优化的空间。

x² 同理，不再赘述。

优化后的例子

此时(p^1)值明显增大，||θ||变小，达到优化目的。

2. Kernels

1) Kernels 1

之前课程中已经提到过通过使用多项式来解决非线性拟合问题，如下图所示

引入核函数
在SVM中我们引入核函数来解决这个问题。
假设(h_θ(x) = θ_0+θ_1f_1+θ_2f_2+……)，然后随机人为的选取几个向量(l^{(i)})作为标记（landmarks），为方便说明选取三个：

同时定义核函数（核函数很多种，这里使用的是高斯核函数Gaussion Kernels）为

[f_i = similarity(x^{(i)}, l^{(i)}) = e^{(-frac{||x^{(i)}-l^{(i)}||^2}{2δ^2})} ]

这里的核函数(f_i)可以理解成相似度，即点x与标记点l如果很相近则预判为1，反之为0.
由高斯核函数的表达式也可以很好的理解：

[若x^{(i)}≈l^{(i)},则f_i≈1 ]

[若x^{(i)}与l^{(i)}相距较远,则f_i≈0 ]

另外高斯核函数中有一个参数(δ^2)，它对于结果的影响如下面几个图所示

可知(δ^2)越小，图像越窄，下降的速度也就越快。

核函数计算示例

首先还是假设选取三个landmarks，并且分类的方法是：

[若θ_0+θ_1f_1+θ_2f_2+……≥0，预测为1，反之为0 ]

假设θ向量已知为(θ_0=-0.5,θ_1=1,θ_2=1,θ_3=0)

下面看第一个点的分类情况：

此时(x≈l^{(1)}，故f_1=1)，同理因为远离其余两个landmarks，所以(f_2=0,f_3=0)。
所以带入计算公式有

[h_θ(x) = θ_0+θ_1f_1+θ_2f_2+θ_3f_3=-0.5+1*1+1*0+0*0=0.5≥0 ]

故该点y=1

继续看下图新添的两个x坐标点

和如上同样的分析后可以知道，绿色的点有y=1，青色的点是y=0

按照上面的计算方法，在计算了大量点后可以得到如下的边界

2) Kernels 2

优化目标
上面的landmarks都是人工选取的几个点而已，但是真实计算时会计算很多点。另外因为引入了核函数，所以SVM优化目标变为：

[minJ(θ)=min C[sum_{i=1}^{m} y^{(i)}Cost_1(θ^Tf^{(i)}) + (1-y^{(i)})Cost_0(θ^Tf^{(i)}) ] + frac{1}{2}sum_{j=1}^{n}θ_j^2 ]

注意原来cost函数中的x变成了f。

另外上式中右边的正则项可以变成(sum_{j=1}^{n}θ_j^2=θ^Tθ)，还可以继续变形
(sum_{j=1}^{n}θ_j^2=θ^Tθ=θ^TMθ)，其中矩阵M取决于你所使用的核函数。
需要注意，上述那些SVM的计算技巧应用到别的算法，如逻辑回归中，会变得非常慢，所以一般不将核函数以及标记点等方法用在逻辑回归中。

参数影响

1.C

前面提到过的(C=frac{1}{λ}),C对bias和variance的影响如下：
C太大，相当于λ太小，会产生高方差，低偏差；
C太小，相当于λ太大，会产生高偏差，低方差。

2.(δ^2)

(δ^2)大，则特征(f_i)变化较缓慢，可能会产生高偏差，低方差；
(δ^2)小，则特征(f_i)变化不平滑，可能会产生高方差，低偏差。

3. SVMs in Practice

1) Using An SVM

SVM和逻辑回归的选择问题
什么时候该用逻辑回归？什么时候该用SVM？
①如果n相对于m来说很大，则应该使用逻辑回归或者线性核函数（无核）的SVM。
m较小时，使用线性分类器效果就挺不错了，并且也没有足够的数据去拟合出复杂的非线性分类器。
②如果n很小，m中等大小，则应该使用高斯核函数SVM。
③如果n很小，m很大，则高斯核函数的SVM运行会很慢。这时候应该创建更多的特征变量，然后再使用逻辑回归或者线性核函数（无核）的SVM。

对于以上这些情况，神经网络很可能做得很好，但是训练会比较慢。实际上SVM的优化问题是一种凸优化问题，好的SVM优化软件包总是能找到全局最小值或者是接近全局最小的值。