$f命题1：$$n$阶实对称阵$A$的第一行乘以一个正数不改变其正特征值的个数
证明：设$B = diagleft( {k,{E_{n - 1}}}
ight)A$，其中$k > 0$，则
[egin{array}{l}
diagleft( {frac{1}{{sqrt k }},{E_{n - 1}}}
ight)Bdiagleft( {sqrt k ,{E_{n - 1}}}
ight)\
= diagleft( {sqrt k ,{E_{n - 1}}}
ight)Adiagleft( {sqrt k ,{E_{n - 1}}}
ight) = C
end{array}]
由于$C$与$A$合同，则$C$与$A$有相同的正惯性指数，从而它们正特征值的个数相同；而$B$与$C$相似，故$B$与$A$正特征值的个数相同