特约作者 | 曹凯
本文介绍一种名叫Virtual Adversarial Training (VAT) [1]的方法，是一种对于给定条件标签分布
的数据度量该分布局部光滑性的一种方法。其实就是对于每一个数据点，它的条件标签分布对于局部的扰动鲁棒性怎么样，是否数据的一点小变化，就会导致预测的其标签的大变化。这种情况在研究对抗样本的时候很常见，比如本来一张猫的图片，稍微加了一点扰动，神经网络就将其判为梨这种完全不一样的类别，这显然不是我们想要的。
一、动机
为什么会想到用光滑性smooth来做正则化呢？正则化从贝叶斯的角度来看，是加了先验信息到模型里面。而自然界的很多物理系统，都是可以用基于微分方程光滑模型描述。所以作者就想到了把条件标签概率约束成光滑的，在输入
变化很小的情况下，输出
也变化很小。满足光滑的情况下，如果对抗样本相比于原样本变化（某种度量下）很小，那么标签应该也不会有太大变化。
优点：VAT在对抗训练的时候，不需要标签信息，所以可以应用于无监督学习。此外，VAT的计算代价也是很低的。
与Goodfellow提出的监督学习对抗方法adversarial training[2]不同的是，VAT找的方向是能使预测的输出分布偏离现状的方向，而adversarial training找的是使模型预测最大地偏离正确label的方向。我们可以称目前模型预测的label是虚拟label（virtual）。
二、方法
- 一些符号定义
表示输入向量，维度是
；
表示输出标签，
是标签空间；输出分布
，
是模型参数；用
表示某一步训练之后的模型参数；
表示有标签的数据集；
表示无标签的数据集。我们使用
和
训练模型
。
- 对抗训练
要讲VAT，首先要从Goodfellow的adversarial training开始，其损失函数为：
其中，
是一个非负度量函数，度量分布
之间的距离，比如交叉熵，我们可以称
是对抗的扰动，也就是对抗的一方想找出来用于攻击的量，对抗的另一方想尽量减小这个量对模型的影响。对于adversarial training来说，
是真实label 的one-hot编码向量
。对于这个优化问题，我们没法得到闭式解，但是对抗的方法本来也就是迭代求解的，我们可以得到近似的解，比如：
或者：
对于神经网络来说，
是可以用反向传播计算的。很明显，对抗方法找到的扰动方向，比随机找一个扰动是要来的好的。
- 虚拟对抗训练：VAT
那么如果训练样本没有标签，或者有一部分数据没有标签怎么办呢？VAT就是要解决这样一个问题。
我们把
统一记为
，VAT目标函数为：
之前的
是用的label的one-hot编码，这边没有了label，VAT用
近似代表。作者认为如果有标签的样本比较多，那么
是离
比较近的，这也是文章用virtual 这个词的原因。所以在迭代过程中，
用上一步的
代替，损失函数变为：
于是，给整个目标函数加上LDS：
其中，
是有标签数据的负对数似然函数。
整个正则化过程，只有两个超参数
和
。作者实验过程中，将
固定为1，这样就只有一个超参数了。
- 具体计算
注意到之前算
，如果
换成
，那么
永远是0，就没法算了，所以得用到二阶信息。
如果一阶导数为0，则
二阶泰勒展开：
其中，
是海森矩阵，记为H。再把
记为
。
那么计算
其中
，
是
最大特征值对应的特征单位向量。
为了计算特征向量，作者使用一种能量迭代方法[3]，令
是一个随机采样的单位向量，假设
与
不垂直，那么随着迭代
就可以让
收敛到
。为了避免算
，这边将
也近似替代：
那么就可以计算：
原文算法描述如下：
作者对算例描述：
实验部分：
参考文献：
[1].Takeru Miyato, Shin-ichi Maeda, Masanori Koyama, and Shin Ishii. Virtual adversarial training: a regularization method for supervised and semi-supervised learning. arXiv preprint. arXiv:1704.03976, 2017.
[2]. Ian Goodfellow, Jonathon Shlens, and Christian Szegedy. Explaining and harnessing adversarial examples. In ICLR, 2015.
[3]. Gene H Golub and Henk A van der Vorst. Eigenvalue computation in the 20th century. Journal of Computational and Applied Mathematics, 123(1):35–65, 2000.