多目标模型
这部分想讲一下Semantic Localization Via the Matrix Permanent这篇文章的多目标测量概率模型。考虑到实际情况中，目标检测算法从单张图像中可能检测出若干类物体，每一类物体可能都有好几个实例。当我们尝试建立数据关联时，先从简单的情形入手，再推广到一般情形。下面假设检测结果共有(m)个。
所有的检测都是误检测
当目标位置(x)的视场内并没有可检测的目标存在时，即(Y_d(x)=varnothing)。那么，所有的测量都是误检测。根据假设，检测出假阳性（false-positive）的过程（作为一个随机过程）在时间线上符合泊松分布（均值为(lambda)），在空间上符合概率分布(p_kappa(z))。
[p(Z|varnothing,x)=exp(-lambda)left(prod_{zin Z}lambda_{kappa}(z)
ight)
]
所有的检测都是正确的
这里指所有在FOV范围内的目标都被检测到了，即(p_d(y|x)=1)，没有误检测，即(lambda=0)。
[p(Z|Y_d(x),x)=sum_{pi}prod_{i=1}^{m}p_z(z_{pi(i)}vert y_i,x)
]
其中，(pi)是检测集合({1,...,m})到目标集合({y_1,...,y_m})的一个排列组合。
有漏检无误检
如果(m=0)，那么
[pleft(varnothing|Y_d(x),x
ight)=prod_{i=1}^{|Y_d(x)|}left(1-p_d(y_i|x)
ight)
]
如果(0 < m leq leftvert Y_d(x) ightvert)，那么
[pleft(Z|Y_d(x),x
ight)=pleft(varnothing|Y_d(x),x
ight)sum_{pi}prod_{ivert pi(i)>0}frac{p_d(y_i|x)p_z(z_{pi(i)}|y_i,x)}{left(1-p_d(y_i|x)
ight)}
]
其中，(pi:{1,...,leftvert Y_d(x) ightvert} ightarrow {0,1,...,m})满足(pi(i)=pi(i')>0Rightarrow i=i')以保证检测结果不会对应于多个目标。这里，(pi)的值域中的(0)表示这个目标是没有检测到的。
没有漏检但有误检
[pleft(Z|Y_d(x),x
ight)=pleft(Z|varnothing,x
ight)sum_{pi}prod_{i=1}^{leftvert Y_d(x)
ightvert}frac{p_z(z_{pi(i)}|y_i,x)}{lambda_{kappa}(z_{pi(i)})}
]
其中(pi)的定义同上。
既有漏检也有误检
这是最一般的情形。结合上面的几种情况，可知当(m=0)时，
[pleft(varnothing|Y_d(x),x
ight)=prod_{i=1}^{|Y_d(x)|}left(1-p_d(y_i|x)
ight)
]
否则，
[pleft(Z|Y_d(x),x
ight)=pleft(Z|varnothing,x
ight)pleft(varnothing|Y_d(x),x
ight)sum_{pi}prod_{ivert pi(i)>0}frac{p_d(y_i|x)p_z(z_{pi(i)}|y_i,x)}{left(1-p_d(y_i|x)
ight)lambda_{kappa}(z_{pi(i)})}
]
其中，(pi:{1,...,leftvert Y_d(x) ightvert} ightarrow {0,1,...,m})满足(pi(i)=pi(i')>0Rightarrow i=i')。