线性代数笔记

平凡解： Ax=0中的零解，即x=0，称为平凡解

非平凡解： AX=0, 如果行列式|A|=0，那么A不可逆，则X有非平凡解；否则，A可逆，那么只有解X=0，即是平凡解。

给定向量组 a1, a2, ···, am , x1a1+x2a2+···+xmam= 0

线性无关： x 只有零解

线性相关， x有非0 解

1. 特征向量

2. 对称矩阵 A^T = A

3. 齐次方程指简化后的方程中所有非零项的指数相等

4. 特征方程

5. 对角阵

5.1 对角化定理：

如果A 可以写为 A= PDP^-1 ，P可逆且D为对角阵，称 A可对角化，

已知A求可逆矩阵P 和对角阵D的方法

1.A-λE化简为最简阶梯型矩阵

2. 令对角线值相乘得 f(λ) = 0，求得λ的三个解 λ1 λ2 λ3

3. 将每个λ代入 Ax = λx 求得x 再单位化就得到特征向量 u1 u2 u3 ，（如果无法得到3个特征向量就说明无法对角化）

4 P = [ u1 u2 u3 ] 即可逆矩阵， D = [ ^λ1 λ2 _λ3 ]即为对角矩阵

6 求矩阵的逆

7 阶梯性矩阵的行列式等于对角线上的数字乘积

8. 向量空间的基

向量空间V的一组向量若满足

1）线性无关

2）V中任一向量可由此向量线性表出，则称该组向量V中的一个基（亦称基底）。

9 正交矩阵 A^T = A^-1 或 AA^T = E

A可以正交对角化等价于 A是对称矩阵

11 二次型定义

12 主轴定理

13 正定矩阵和负定矩阵的判断方法（特征值）

14 求z = x^TAx 的最大值（xTx=1）就是求A的特征值最大值再通过特征值求 u向量， u单位化之后就是我们的解。

15 如果x 和 u1 ....uk-1 等k-1个特征向量垂直，那么最大值就是在x=uk取到 λk

16 怎么求特征方程

已知矩阵A 将A-λE 化简为阶梯型矩阵，对角线相乘即特征方程f(x)， f(x)=0 的解即为特征值

矩阵

17.1 矩阵的转置的基本性质

17.2 矩阵乘法性质

18 A的奇异值是啥

奇异值就是 A^TA 中特征值的平方根

19 奇异值分解

20 协方差矩阵

协方差矩阵的含义：

其中s13=0 说明 x1 和 x3 无关 tr(S)=10+8+32 = 50 表示S的迹 , 即总方差

21 主成成分分析

22 矢量积

${displaystyle {egin{aligned}mathbf {u} imes mathbf {v} ={}&(u_{1}mathbf {i} +u_{2}mathbf {j} +u_{3}mathbf {k} ) imes (v_{1}mathbf {i} +v_{2}mathbf {j} +v_{3}mathbf {k} )\={}&u_{1}v_{1}(mathbf {i} imes mathbf {i} )+u_{1}v_{2}(mathbf {i} imes mathbf {j} )+u_{1}v_{3}(mathbf {i} imes mathbf {k} )+{}\&u_{2}v_{1}(mathbf {j} imes mathbf {i} )+u_{2}v_{2}(mathbf {j} imes mathbf {j} )+u_{2}v_{3}(mathbf {j} imes mathbf {k} )+{}\&u_{3}v_{1}(mathbf {k} imes mathbf {i} )+u_{3}v_{2}(mathbf {k} imes mathbf {j} )+u_{3}v_{3}(mathbf {k} imes mathbf {k} )\end{aligned}}}$

${displaystyle {egin{aligned}mathbf {u} imes mathbf {v} ={}&-u_{1}v_{1}mathbf {0} +u_{1}v_{2}mathbf {k} -u_{1}v_{3}mathbf {j} \&-u_{2}v_{1}mathbf {k} -u_{2}v_{2}mathbf {0} +u_{2}v_{3}mathbf {i} \&+u_{3}v_{1}mathbf {j} -u_{3}v_{2}mathbf {i} -u_{3}v_{3}mathbf {0} \={}&(u_{2}v_{3}-u_{3}v_{2})mathbf {i} +(u_{3}v_{1}-u_{1}v_{3})mathbf {j} +(u_{1}v_{2}-u_{2}v_{1})mathbf {k} \end{aligned}}}$