阶
阶的定义
设 (m>1),且 (gcd(a,m)=1),那么使得(a^requiv 1(modm))成立的最小的正整数(r)称为(a)对模(m)的阶,记为(delta m(a))
阶的性质
定理一:若 (m>1) 并且 (gcd(a,m)=1),又满足 (a^n equiv 1(modm)),那么 (delta m(a)|n)
定理二:(delta m(a)|varphi(m))
原根
原根的定义
原根,是一个数学符号。设 (m) 是正整数,(a) 是整数,若 (a) 模 (m) 的阶等于 (varphi(m)),则称 (a)为模 (m) 的一个原根。
原根存在的条件
模 ({displaystyle m}) 有原根的充要条件是 (m=2,4,p^k,2p^k),其中 (p) 是奇素数(除了 (2) 以外的所有素数),(k) 是任意正整数。
原根的判定
若 (g) 为模 (m) 的原根,则对于任意 (varphi(m)) 的质因子 (p),必有 (g^{frac{varphi(m)}{p}} otequiv 1 pmod m)
求所有的原根
最小原根是不大于 (sqrt[4]{m}) 级别的。
因此,不妨枚举 ([1,sqrt[4]{m}]) 的整数,得到最小原根 (g)。
再枚举 (g^s) 的指数 (s),若 (s) 与 (varphi(m)) 互质,则 (g^smod m) 为一个原根。
由此可知,如果数 (m) 存在原根,则原根的个数为 (varphi(varphi(m)))
原根的性质
(a^0,a^1,a^2,cdots,a^{delta m(a)−1 }) 模 (m) 两两不同余,且 (a^{k}\%m=a^{(k+delta_m(a))}\%m)
代码
#include<cstdio>
#include<cmath>
#include<algorithm>
#define rg register
inline int read(){
rg int x=0,fh=1;
rg char ch=getchar();
while(ch<'0' || ch>'9'){
if(ch=='-') fh=-1;
ch=getchar();
}
while(ch>='0' && ch<='9'){
x=(x<<1)+(x<<3)+(ch^48);
ch=getchar();
}
return x*fh;
}
const int maxn=1e6+5;
bool not_pri[maxn];
int n,t,d,pri[maxn],phi[maxn];
void xxs(){
not_pri[0]=not_pri[1]=1;
phi[1]=1;
for(rg int i=2;i<maxn;i++){
if(!not_pri[i]){
pri[++pri[0]]=i;
phi[i]=i-1;
}
for(rg int j=1;j<=pri[0] && 1LL*i*pri[j]<maxn;j++){
not_pri[i*pri[j]]=1;
if(i%pri[j]==0){
phi[i*pri[j]]=phi[i]*pri[j];
break;
}
phi[i*pri[j]]=phi[i]*phi[pri[j]];
}
}
}
bool jud(rg int now){
if(now==2 || now==4) return 1;
if(now%2==0) now/=2;
for(rg int i=2;pri[i]<=now;i++){
if(now%pri[i]==0){
while(now%pri[i]==0){
now/=pri[i];
}
return now==1;
}
}
return 0;
}
int ksm(rg int ds,rg int zs,rg int mod){
rg int nans=1;
while(zs){
if(zs&1) nans=1LL*nans*ds%mod;
ds=1LL*ds*ds%mod;
zs>>=1;
}
return nans;
}
int sta[maxn],tp,g,ans[maxn],tp2;
void divid(rg int now){
rg int m=sqrt(now);
tp=0;
for(rg int i=2;i<=m;i++){
if(now%i==0){
sta[++tp]=i;
while(now%i==0) now/=i;
}
}
if(now>1) sta[++tp]=now;
}
int gcd(rg int aa,rg int bb){
return (bb==0)?aa:gcd(bb,aa%bb);
}
bool pd;
int main(){
xxs();
t=read();
while(t--){
n=read(),d=read();
if(jud(n)){
divid(phi[n]);
for(rg int i=1;;i++){
pd=1;
if(gcd(i,n)!=1) continue;
for(rg int j=1;j<=tp;j++){
if(ksm(i,phi[n]/sta[j],n)==1){
pd=0;
break;
}
}
if(pd){
g=i;
break;
}
}
rg int now=1;
tp2=0;
for(rg int i=1;tp2<phi[phi[n]];i++){
now=1LL*now*g%n;
if(gcd(phi[n],i)==1) ans[++tp2]=now;
}
std::sort(ans+1,ans+1+tp2);
printf("%d
",phi[phi[n]]);
for(rg int i=1;i<=phi[phi[n]]/d;i++){
printf("%d ",ans[i*d]);
}
printf("
");
} else {
printf("0
");
}
}
return 0;
}