AcWing 278. 数字组合

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【总结】背包问题的至多/恰好/至少

一、题目解析

题目描述
给定 \(n\) 个正整数：\(a_1,a_2,⋯,a_n\)

从中选出若干个数，使得他们的和为 \(m\)

求最终的 方案数

分析
对于本题我们可以把每个 正整数 看作是一个 物品

正整数 的值就是 物品 的 体积

我们方案选择的 目标 是最终 体积 恰好为 \(m\) 时的 方案数

于是本题就变成了** 01背包求解方案数** 的问题了

闫氏DP分析法
初始状态：f[0][0]

目标状态：f[n][m]

时间复杂度：\(O(n×m)\)

二、二维实现代码

#include <bits/stdc++.h>

using namespace std;
/**
二维数组+动态规划
状态转移方程：
1. 不选i：f[i][j] = f[i-1][j]
2. 选i： f[i][j] = f[i-1][j-v[i]]
所以总的方案数就1和2的和,注意：因为体积为0时，即j=0时，是存在一种方案的:f[0][0] = 1
*/
const int N = 110;
const int M = 10010;
int n, m;
int a[N];
int f[N][M];

int main() {
    cin >> n >> m;
    f[0][0] = 1;
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        cin >> a[i];
        for (int j = 0; j <= m; j++) {
            //不管能不能选，都可以从上一个状态继承过来
            f[i][j] = f[i - 1][j];
            //如果可选，还要增加另一些状态的方案数
            if (j >= a[i]) f[i][j] += f[i - 1][j - a[i]];
        }
    }
    //输出结果
    printf("%d", f[n][m]);
    return 0;
}

三、一维实现代码

#include <bits/stdc++.h>

using namespace std;
const int N = 10010;

int n, m;
int a[N];
int f[N];//在前i个物品，体积是j的情况下，恰好装满的方案数

int main() {
    cin >> n >> m;
    //体积恰好j, f[0]=1, 其余是0
    f[0] = 1;
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        cin >> a[i];
        for (int j = m; j >= a[i]; j--)
            f[j] += f[j - a[i]];
    }
    printf("%d", f[m]);
    return 0;
}