最长不减子序列【转】

这个题相当经典。很多题目都可以等价过来。

一、简单的O（n^2)的算法
很容易想到用动态规划做。设lis[]用于保存第1~i元素元素中最长不下降序列的长度，则lis[i]=max(lis[j])+1,且num[i]>num[j],i>j。然后在lis[]中找到最大的一个值，时间复杂度是O(n^2)。

int Longest_Increasing(int num[],int n){
    int lis[n],i,j;
    for(i=0;i<n;i++){
        lis[i]=1;
        for(j=0;j<i;j++)
            if(num[i]>num[j]&&lis[j]+1>lis[i])
                lis[i]=lis[j]+1;
    }
    int maxn=0;
    for(i=0;i<n;i++) if(maxn<lis[i]) maxn=lis[i];
    return maxn;
}

二、复杂点的O(nlogn)算法
概述：O(nlogn)的算法关键是它建立了一个数组b[]，b[i]表示长度为i的不下降序列中结尾元素的最小值，用K表示数组目前的长度，算法完成后K的值即为最长不下降子序列的长度。
具体点来讲：
设当前的以求出的长度为K，则判断a[i]和b[k]：
1.如果a[i]>=b[k]，即a[i]大于长度为K的序列中的最后一个元素，这样就可以使序列的长度增加1，即K=K+1,然后现在的b[k]=a[i]；
2.如果a[i]<b[k]，那么就在b[1]...b[k]中找到最大的j,使得b[j]<a[i],然后因为b[j]<a[i]，所以a[i]大于长度为j的序列的最后一个元素，那么就可以更新长度为j+1的序列的最后一个元素，即b[j+1]=a[i]。
算法复杂度的分析：
因为共有n个元素要进行计算；每次计算又要查找n次，所以复杂度是O(n^2)，但是，注意到b[]数组里的元素的单调递增的，所以我们可以用二分法，查找变成了logn次。这样算法的复杂度就变成了O(nlogn)。