所有的周期函数都可以用三角函数表示吗？

52396255

所有的周期函数都可以用三角函数表示吗？

呃，可能这个问题有点蠢，但是如果答案是否或者是都请给出证明，或者举一个反例然后证明其不能由三角函数表示出来（●─●）谢谢
呃，突然发现只要证明某个函数不能用三角函数表示就可以了，比如说反比例函数，取它的某一段作成周期函数，证明那一段不能用三角函数表示出来，可是还是不知道怎么证明，求助

1.先回答题主的问题：
函数可以展开成Fourier级数的充分必要条件我还没有见到过。现在可以用的一些命题是：
令 $[{s_n}left( {t,f} ight) = frac{1}{pi }int_{ - pi }^pi {fleft( x ight)} {D_n}left( {x - t} ight)dx]$ ，这是f的Fourier级数在一点t处的n阶部分和（它是个卷积哦），其中 $[{D_n}left( u ight) = frac{{sin left( {n + frac{1}{2}} ight)u}}{{2sin frac{1}{2}u}}]$ 为dirichlet核
那么lebesgue常数 $[{L_n} = {s_n}left( {0,{mathop{ m sgn}} {D_n}left( x ight)} ight) sim left( {frac{4}{{{pi ^2}}}} ight)ln nleft( {n o infty } ight)]$ 。这对于你判断一个三角级数是否是某函数(当然它要是 $L(E)$ 的)的Fourier系数会有帮助（必要条件）。
Fejer给出了一个充分条件：
假如函数是 $[Lleft( {left[ {0,2pi } ight]} ight)]$ 的，那么它的fourier级数在 $[{left[ {0,2pi } ight]}]$ 上几乎处处可切萨罗求和得这个函数。它的推论是：如果 $f$ 的fourier级数在正测度集 $E$ 上收敛，那么它在 $E$ 上几乎处处收敛于 $f$ 。

由是我们可以构造这样一个函数，使得一个 $[Lleft( {left[ {0,2pi } ight]} ight)]$ 的函数，它的fourier级数几乎处处无界发散：
在闭区间 $[{left[ {0,2pi } ight]}]$ 上选取n个点 $[{A_k} = frac{{4kpi }}{{left( {2n + 1} ight)}}]$ ，假定一列奇数满足： $[{lambda _1} = 1,k ge 2,{lambda _k} > n]$ ，定义一列数 $[left{ {{m_k}} ight}]$ 和一系列区间 $[left{ {{J_k}} ight}]$ 如下：
$[{m_k} + 1 = {lambda _k}left( {2n + 1} ight)]$ ， $[{J_k} = left[ {{A_k} - 1/{m_k}^2,{A_k} + 1/{m_k}^2} ight]]$ 。( $k=1,2,...n$ )
然后作函数： $[{varphi _n}left( x ight) = left{ egin{array}{l} {m_k}^2/n,x in {J_k} \ 0,x in left[ {0,2pi } ight]ackslash igcuplimits_{k = 1}^n {{J_k}} \ end{array} ight.]$ ，即为所需的反例。

这个周期函数就不可展成fourier级数。至于它的证明，实在太冗长了，也需要实变函数的知识才能理解。

傅里叶级数可以表示成某函数的充分必要条件很复杂（反正我还没见过），对它的研究主要还是集中在实变函数中。比较好的结果是在Dirichlet条件下的。

Dirichlet条件：设 $f$ 在 $[{left[ {0,2pi } ight]}]$ 上分段单调或分段可微（有可数个极值点），并且除可数多个第一类间断点外连续，则它的Fourier级数在 $[{left[ {0,2pi } ight]}]$ 上任一点 $x$ 收敛于 $[frac{{fleft( {{x_ + }} ight) + fleft( {{x_ - }} ight)}}{2}]$ 。

我想题主所需要的函数大多满足那样的条件。但一般的微积分教材中都有叙述，我就不再叙述了。
此外，fourier级数与幂级数不同。每一个给定的幂级数，都是某函数的taylor级数；但每一个给定的三角函数，却不一定是某函数的fourier级数。

2.如果给的函数性质足够好，我们如何构造这个三角函数的表示？
你只需要知道，在 $[{left[ {0,2pi } ight]}]$ 上， ${e_n(x)}$ = $left{ {frac{1}{{sqrt {2pi } }},...frac{{cos nx}}{{sqrt pi }},frac{{sin nx}}{{sqrt pi }}},.... ight}$ (n=1,2,...)中随便取两个乘起来再作积分，得到的是 ${delta _{ij}}$ （i=j时为1，i≠j时为0）。这样，我们先假定写成（ ${e_n(x)}$ 已知，但系数未知） $[f = sumlimits_{n = 1}^infty {{c_n}{e_n}left( x ight)} ]$ ，然后要算哪个 $c_n$ ，就两边同乘以 ${e_n(x)}$ ，积分就可以得到系数。

编辑于 2016-11-15