算法训练 K好数

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问题描述

如果一个自然数N的K进制表示中任意的相邻的两位都不是相邻的数字，那么我们就说这个数是K好数。求L位K进制数中K好数的数目。例如K = 4，L = 2的时候，所有K好数为11、13、20、22、30、31、33 共7个。由于这个数目很大，请你输出它对1000000007取模后的值。

输入格式

输入包含两个正整数，K和L。

输出格式

输出一个整数，表示答案对1000000007取模后的值。

样例输入

4 2

样例输出

数据规模与约定

对于30%的数据，K^L <= 10⁶；

对于50%的数据，K <= 16， L <= 10；

对于100%的数据，1 <= K,L <= 100。

思路：

因为知道数位DP，考虑用DP解法。刚开始看到进制蒙圈了，因为一般都是给定区间，然后对数的每一位分解状态的。

然后假定进制确定之后再进行初始化的话，就是简单的数位DP了，思路一下明白。

确定进制之后，每一位的取值最大只能到K-1。

初始化的时候注意，不管什么进制，不论首位是几，只要是1位数，一定符合K好数。因为K好数是对两位以上说明的。

最后累加求和的话，位数是确定的L。所以累计dp[L][...]。首位的取值不能是0，因为如果是0，除去前导0，就变成L-1位了。

代码：

#include<iostream>
#include<string>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<cmath>
using namespace std;
int dp[101][101];//到100
const int mod=1000000007;
int main()
{
    int K,L;
    scanf("%d%d",&K,&L);
    memset(dp,0,sizeof(dp));
    for(int j=0;j<=K-1;j++)
    {
        dp[1][j]=1;//不管首位取什么值，只要是1位数，肯定是符合K好数的要求，置为1
    }
    for(int i=2;i<=L;i++)//最少为2位数
    {
        for(int j=0;j<=K-1;j++)//模拟第i位取值
        {
            for(int k=0;k<=K-1;k++)//模拟第i-1位取值
            {
                if(!(fabs(j-k)==1))//相邻两数差值不为1，即为符合条件
                {
                    dp[i][j]=(dp[i][j]%mod+dp[i-1][k]%mod)%mod;
                }
            }
        }
    }
    int sum=0;
    for(int j=1;j<=K-1;j++)//不考虑进制，要求长度为L，首位取值任意(除0外)
    {
        sum=(sum%mod+dp[L][j]%mod)%mod;
    }
    printf("%d
",sum);
    return 0;
}