向量卷积与多项式乘法 对于两个离散序列f[n],g[m],可以将卷积定义为 s[k]=∑f[j]g[k-j] 回忆我们学过的多项式乘法,比如(x2+2x+1)(3x+2) 一般的计算方式是 (x2+2x+2)(3x+2) = (x2+2x+2)*3x+(x2+2x+2)*2 = 3x3+6x2+6x+2x2+4x+4 合并同类项之后 得到 3x3 6x2+2x2 6x+4x 4 ---------------- 3x3+8x2+10x+4 从线性代数的角度来看,多项式可以构成一个向量空间,通过选定一组基底 {1,x,x2,x3……} 就可以很容易将多项式与某维度的坐标向量相对应,这里采用降幂 1.(x2+2x+2)—>(1 2 2) ; 2.(3x+2)-à(3 2) 通过上面的卷积定义,可以得到向量卷积的定义 对于长度为m的向量u与长度为n的向量v的卷积 w(k)= ∑(u(j)*v(k+1-j)) 向量w的长度为m+n-1 ps:向量u对应的多项式最高次幂为xm-1,向量v的是 xn-1,两个多项式相乘之后最高次幂为xm+n-2,最低次幂为x0 ,也就是1,所以得到的长度为m+n-1 根据上面的向量卷积的形式来重新处理坐标向量1,2(将1倒置) (2 2 1)*(3 2) 计算方式: A = x =(0 0 3 2 0 0)' b = Ax=(3 8 10 4)' A的每一行都代表序列(2 2 1)移动一位,然后与x做内积,通过一系列的向量内积,这样也得到了多项式相乘的结果。