数据结构与算法—二叉树

1. 树的概念

树（英语：tree）是一种抽象数据类型（ADT）或是实作这种抽象数据类型的数据结构，用来模拟具有树状结构性质的数据集合。它是由n（n>=1）个有限节点组成一个具有层次关系的集合。把它叫做“树”是因为它看起来像一棵倒挂的树，也就是说它是根朝上，而叶朝下的。它具有以下的特点：

• 每个节点有零个或多个子节点；
• 没有父节点的节点称为根节点；
• 每一个非根节点有且只有一个父节点；
• 除了根节点外，每个子节点可以分为多个不相交的子树；

比如说：

（1）树的术语

• 节点的度：一个节点含有的子树的个数称为该节点的度；
• 树的度：一棵树中，最大的节点的度称为树的度；
• 叶节点或终端节点：度为零的节点；
• 父亲节点或父节点：若一个节点含有子节点，则这个节点称为其子节点的父节点；
• 孩子节点或子节点：一个节点含有的子树的根节点称为该节点的子节点；
• 兄弟节点：具有相同父节点的节点互称为兄弟节点；
• 节点的层次：从根开始定义起，根为第1层，根的子节点为第2层，以此类推；
• 树的高度或深度：树中节点的最大层次；
• 堂兄弟节点：父节点在同一层的节点互为堂兄弟；
• 节点的祖先：从根到该节点所经分支上的所有节点；
• 子孙：以某节点为根的子树中任一节点都称为该节点的子孙；
• 森林：由m（m>=0）棵互不相交的树的集合称为森林。

（2）树的种类

• 无序树：树中任意节点的子节点之间没有顺序关系，这种树称为无序树，也称为自由树；
• 有序树：树中任意节点的子节点之间有顺序关系，这种树称为有序树；

  • 二叉树：每个节点最多含有两个子树的树称为二叉树；

  • 完全二叉树：对于一颗二叉树，假设其深度为d(d>1)。除了第d层外，其它各层的节点数目均已达最大值，且第d层所有节点从左向右连续地紧密排列，这样的二叉树被称为完全二叉树，其中满二叉树的定义是所有叶节点都在最底层的完全二叉树;

  • 平衡二叉树（AVL树）：当且仅当任何节点的两棵子树的高度差不大于1的二叉树；

  • 排序二叉树（二叉查找树（英语：Binary Search Tree），也称二叉搜索树、有序二叉树），即每个节点中，其左子节点比该节点小，右子节点比该节点大的树；

• 霍夫曼树（用于信息编码）：带权路径最短的二叉树称为哈夫曼树或最优二叉树；
• B树：一种对读写操作进行优化的自平衡的二叉查找树，能够保持数据有序，拥有多余两个子树。

（3）树的存储与表示

• 顺序存储：将数据结构存储在固定的数组中，然在遍历速度上有一定的优势，但因所占空间比较大，是非主流二叉树。二叉树通常以链式存储。
  

• 链式存储

由于对节点的个数无法掌握，常见树的存储表示都转换成二叉树进行处理，子节点个数最多为2。

（4） 常见的一些树的应用场景

1. xml，html等，那么编写这些东西的解析器的时候，不可避免用到树
2. 路由协议就是使用了树的算法
3. mysql数据库索引
4. 文件系统的目录结构
5. 所以很多经典的AI算法其实都是树搜索，此外机器学习中的decision tree也是树结构

2. 二叉树

（1） 二叉树的概念

二叉树是每个节点最多有两个子树的树结构。通常子树被称作“左子树”（left subtree）和“右子树”（right subtree）

（2）二叉树的性质

1. 在二叉树的第i层上至多有2^(i-1)个结点（i>0）
2. 深度为k的二叉树至多有2^k - 1个结点（k>0）
3. 对于任意一棵二叉树，如果其叶结点数为N0，而度数为2的结点总数为N2，则N0=N2+1;
4. 对完全二叉树，若从上至下、从左至右编号，则编号为i 的结点，其左孩子编号必为2i，其右孩子编号必为2i＋1；其双亲的编号必为i/2（i＝1 时为根,除外）

• 完全二叉树
  若设二叉树的高度为h，除第 h 层外，其它各层 (1～h-1) 的结点数都达到最大个数，第h层有叶子结点，并且叶子结点都是从左到右依次排布，这就是完全二叉树。
  

• 满二叉树
  除了叶结点外每一个结点都有左右子叶且叶子结点都处在最底层的二叉树。
  

（3）二叉树的实现

1. 节点表示

通过使用Node类中定义三个属性，分别为elem本身的值，还有lchild左孩子和rchild右孩子

class Node(object):
    def __init__(self,item):
        self.item = item
        self.lchild = None
        self.rchild = None

2. 树的创建

树的创建,创建一个树的类，并给一个root根节点，一开始为空，随后添加节点

# import pdb
# pdb.set_trace()
class Tree(object):
    # 构造一颗树，有根节点属性
    def __init__(self):
        self.root = None  
        
    def add(self, item):
        """为树添加节点"""
        node = Node(item)
        # 若为空树，则添加根节点 
        if self.root == None:
            self.root = node
        else:
            # 创建一个队列用来装 层次遍历的节点顺序（广度优先遍历）
            quene = []
            # 首先是遍历根节点
            quene.append(self.root)
            # 对节点进行层次遍历
            while quene:
                # 从队列头部取出第一个待判断节点
                cur = quene.pop(0)
                if cur.lchild is None:
                    cur.lchild = node
                    # 添加后就一定要退出
                    return
                elif cur.rchild is None:
                    cur.rchild = node
                    return
                else:
                    # 若当前节点的左右子节点都不为空，则分别把左右子节点加入待判断队列，继续遍历下一层
                    quene.append(cur.lchild)
                    quene.append(cur.rchild)
                    

（4）二叉树的遍历

树的遍历是树的一种重要的运算。所谓遍历是指对树中所有结点的信息的访问，即依次对树中每个结点访问一次且仅访问一次，我们把这种对所有节点的访问称为遍历（traversal）。

那么树的两种重要的遍历模式是深度优先遍历和广度优先遍历,深度优先一般用递归，广度优先一般用队列。
一般情况下能用递归实现的算法大部分也能用堆栈来实现。

广度优先遍历（层次遍历）

def breath_travel(self):
    # 首先要考虑树是否为空
    if self.root is None:
        return
    # 新建一个队列用于装待遍历的节点（按层次遍历的顺序）
    quene = []
    quene.append(self.root)
    while quene:
        cur = quene.pop(0)
        print(cur.item)
        if cur.lchild is not None:
            quene.append(cur.lchild)
        if cur.rchild is not None:
            print(cur.rchild.item)
            quene.append(cur.rchild)

深度优先遍历

对于一颗二叉树，深度优先搜索(Depth First Search)是沿着树的深度遍历树的节点，尽可能深的搜索树的分支。

深度遍历有重要的三种方法。这三种方式常被用于访问树的节点，它们之间的不同在于访问每个节点的次序不同。分别叫做先序遍历（preorder），中序遍历（inorder）和后序遍历（postorder）。

• 先序遍历 在先序遍历中，我们先访问根节点，然后递归使用先序遍历访问左子树，再递归使用先序遍历访问右子树
  根节点->左子树->右子树

# 使用递归，每次都用同样的方法遍历一个子树，所以要传子树的根节点
def preorder(self, node):
    # 终止条件，如果传的树根节点为空，退出
    if node is None:
        return
    # 输出当前节点(根节点）
    print(node.item)
    # 递归处理做左树
    self.preorder(node.lchild)
    # 递归处理右树
    self.preorder(node.rchild)

• 中序遍历 在中序遍历中，我们递归使用中序遍历访问左子树，然后访问根节点，最后再递归使用中序遍历访问右子树
  左子树->根节点->右子树

def inorder(self, node):
    # 终止条件，如果传的树根节点为空，退出
    if node is None:
        return
    # 递归处理做左树
    self.inorder(node.lchild)
    # 输出当前节点(根节点）
    print(node.item)
    # 递归处理右树
    self.inorder(node.rchild)

• 后序遍历 在后序遍历中，我们先递归使用后序遍历访问左子树和右子树，最后访问根节点
  左子树->右子树->根节点

def postorder(self, node):
    # 终止条件，如果传的树根节点为空，退出
    if node is None:
        return
    # 递归处理做左树
    self.postorder(node.lchild)
    # 递归处理右树
    self.postorder(node.rchild)
    # 输出当前节点(根节点）
    print(node.item)

根据遍历结果确定一棵树

• 用先序+中序，或者后序+中序的遍历结果，就可以重建一棵树（总之，必须要有中序）

# 用前序和中序遍历结果重建二叉树
def reConstructBinaryTree(self, pre, tin):
    if not pre and not tin:
        return None
    root = TreeNode(pre[0])
    rootid = tin.index(root.item)
    root.lchild= self.reConstructBinaryTree(pre[1: rootid+1], tin[:rootid])
    root.rchild= self.reConstructBinaryTree(pre[rootid+1:], tin[rootid+1:])
    return root    

测试

# import pdb
# pdb.set_trace()
class Node(object):
    """节点类"""
    def __init__(self,item):
        self.item = item
        self.lchild = None
        self.rchild = None

class Tree(object):
    """树类"""
    # 构造一颗树，有根节点属性
    def __init__(self):
        self.root = None  
        
    def add(self, item):
        """为树添加节点"""
        node = Node(item)
        # 若为空树，则添加根节点 
        if self.root == None:
            self.root = node
        else:
            # 创建一个队列用来装 层次遍历的节点顺序（广度优先遍历）
            quene = []
            # 首先是遍历根节点
            quene.append(self.root)
            # 对节点进行层次遍历
            while quene:
                # 从队列头部取出第一个待判断节点
                cur = quene.pop(0)
                if cur.lchild is None:
                    cur.lchild = node
                    # 添加后就一定要退出
                    return
                elif cur.rchild is None:
                    cur.rchild = node
                    return
                else:
                    # 若当前节点的左右子节点都不为空，则分别把左右子节点加入待判断队列，继续遍历下一层
                    quene.append(cur.lchild)
                    quene.append(cur.rchild)
                    
    def breath_travel(self):
        """广度优先遍历"""
        # 首先要考虑树是否为空
        if self.root is None:
            return
        # 新建一个队列用于装待遍历的节点（按层次遍历的顺序）
        quene = []
        quene.append(self.root)
        while quene:
            cur = quene.pop(0)
            print(cur.item,end=' ')
            if cur.lchild is not None:
                quene.append(cur.lchild)
            if cur.rchild is not None:
                quene.append(cur.rchild)
                
    def preorder(self, node):
        """递归实现先序遍历"""
        # 终止条件，如果传的树根节点为空，退出
        if node is None:
            return
        # 输出当前节点(根节点）
        print(node.item,end=' ')
        # 递归处理做左树
        self.preorder(node.lchild)
        # 递归处理右树
        self.preorder(node.rchild)
        
    def inorder(self, node):
        """递归实现中序遍历"""
        # 终止条件，如果传的树根节点为空，退出
        if node is None:
            return
        # 递归处理做左树
        self.inorder(node.lchild)
        # 输出当前节点(根节点）
        print(node.item,end=' ')
        # 递归处理右树
        self.inorder(node.rchild)
        
    def postorder(self, node):
        """递归实现后序遍历"""
        # 终止条件，如果传的树根节点为空，退出
        if node is None:
            return
        # 递归处理做左树
        self.postorder(node.lchild)
        # 递归处理右树
        self.postorder(node.rchild)
        # 输出当前节点(根节点）
        print(node.item,end=' ')
                
if __name__ == "__main__":
    t=Tree()
    t.add(0)
    t.add(1)
    t.add(2)
    t.add(3)
    t.add(4)
    t.add(5)
    t.add(6)
    t.add(7)
    t.add(8)
    t.add(9)
    t.breath_travel()
    print(' ')
    t.preorder(t.root)
    print(' ')
    t.inorder(t.root)
    print(' ')
    t.postorder(t.root)

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9  
0 1 3 7 8 4 9 2 5 6  
7 3 8 1 9 4 0 5 2 6  
7 8 3 9 4 1 5 6 2 0