已知函数(f(x)=sinx-ln(1+x))，证明：
((1)) (f'(x))在区间((-1,frac{π}{2}))存在唯一极大值
((2)) (f(x))有且仅有两个零点
解：
((1))
[f'(x)=cosx-frac{1}{x+1}
]
[f''(x)=-sinx+frac{1}{(x+1)^2}
]
(xin (-1,frac{π}{2}))时，(f''(x))单调减
[f''(0)>0,f''(frac{π}{2})<0
]
所以((-1,frac{π}{2}))上，(f'(x))有唯一极大值点
((2))
当(xin (-1,0])
(f''(x)>0,f'(x))单调增
(f'(0)=0)，所以(xin (-1,0))时(f'(x)<0)，(f(x))在((-1,0))单调减
(f(0)=0)，所以((-1,0])上(f(x))仅有一个零点
当(xin (0,frac{π}{2}])
假设(f'(x))在((-1,frac{π}{2}))上极值点为(α)，则在((0,α),f'(x))单调增，((α,frac{π}{2}))单调减
(f'(0)=0,f'(frac{π}{2})<0)，所以存在(βin (α,frac{π}{2}))使得(f'(β)=0,f(β))是极大值点
(f(0)=0,f(frac{π}{2})>0)，所以((0,frac{π}{2}))中没有零点
当(xin (frac{π}{2}))
(f'(x)<0)，所以(f(x))单调减
(f(frac{π}{2})>0,f(π)<0)，所以存在唯一零点
当(xin (π,+∞))
(ln(x+1)>0)，所以(f(x)<0)
综上，(f(x))在((-1,+∞))有且仅有两个零点