题目大意：在一个一维坐标轴上有v个(1<=v<=300)村庄，要建p(1<=p<=30)个邮局，每个村庄都到最近的邮局，要求最小的距离和。
四边形不等式，据说黑书上写得很高深。
描述是这样的：令(a<=b<=c<=d，i<=k<j)，若w[a][c]+w[b][d]<=w[a][d]+w[b][c]，m[i][j]=min OR max{m[i][k]+m[k+1][j]+w[i][j]}则m[a][c]+m[b][d]<=m[a][d]+m[b][c]。
对于这个式子，个人觉得没必要深究，读者读读题目就应该知道自己要求的m[i][j]定义，取min或者max。我也不会证明，只能弱弱感受到是这么回事。（毕竟那些都不重要，因为不涉及最后求解结果）
最重要的是这个式子，假设s[i][j]是对应取到m[i][j]的最优解（s当然是solution的意思了，关于解的描述要细细考虑，因为它并不用是一种很确切的表示，只需要是一个关键的量就可以）。PS：我觉得，我要是不解释这个关键量，很多人肯定会黑我的，但是我真的不知道怎么表达。看代码中的注解吧。
四边形不等式最大优化是s[i][j]一定介于s[k=i-1 或者 k=i+1][j]、s[i][j+1]之间。（也有很多博客上写成s[i-1][j]<=s[i][j]<=s[i][j+1]）这样对于我们搜索关于s[i][j]的值时范围大大缩短了。对于s[i][max_(i)]可以用我们通常容易想到的dp方程线性效率解决。而s[i][1]到s[i][max_(i)-1]这一段的解，总共的效率可以缩短到线性。
1 #include <iostream> 2 #include <cstdio> 3 #include <cstring> 4 #include <algorithm> 5 using namespace std; 6 const int infinity=(-1)^(1<<31); 7 const int V=305; 8 const int P=35; 9 int dp[V][P], s[V][P]; 10 int atx[V],sum[V]; 11 inline int setat(int i,int j){ 12 return (i+j)>>1; 13 } 14 int move_all(int fr,int ba){ 15 //printf("move from %d to %d = %d ",fr,ba,(sum[ba]-sum[fr])-atx[fr]*(ba-fr)); 16 return (sum[ba]-sum[fr])-atx[fr]*(ba-fr); 17 } 18 int S(int i,int j){ 19 int pos=setat(i,j); 20 int ret=move_all(pos,j); 21 ret += (atx[pos]-atx[i])*(pos-i+1)-move_all(i,pos); 22 return ret; 23 } 24 int DP(int v,int p){ 25 sort(atx+1,atx+1+v); 26 for(int i=v;i>=1;i--) atx[i]-=atx[1]; 27 for(int i=1;i<=v;i++) sum[i]=sum[i-1]+atx[i]; 28 //for(int i=1;i<=v;i++) printf("%3d ",atx[i]); printf(" "); 29 for(int i=1;i<=v;i++) 30 dp[i][1]=S(1,i), s[i][1]=setat(1,i); //printf("1 --> %4d, %d ",i,dp[i][1]); 31 if(p >= 2) 32 for(int i=2;i<=v;i++){ 33 int maxj=min(i,p); 34 dp[i][maxj]=infinity; 35 for(int k=maxj-1;k<i;k++) 36 if(dp[k][maxj-1]+S(k+1,i) < dp[i][maxj]) 37 dp[i][maxj]=dp[k][maxj-1]+S(k+1,i), s[i][maxj]=k; 38 //printf("dp[%d][%d] = %d, s[i][maxj] = %d ",i,maxj,dp[i][maxj],s[i][maxj]); 39 for(int j=maxj-1;j>=2;j--){ 40 dp[i][j]=infinity; 41 for(int k=s[i-1][j];k<=s[i][j+1];k++) 42 if(dp[k][j-1]+S(k+1,i) < dp[i][j]){ 43 dp[i][j]=dp[k][j-1]+S(k+1,i); 44 s[i][j]=k; 45 } 46 } 47 } 48 return dp[v][p]; 49 } 50 int main() 51 { 52 int v,p; 53 while(scanf("%d%d",&v,&p) != EOF){ 54 for(int i=1;i<=v;i++) 55 scanf("%d",&atx[i]); 56 printf("%d ",DP(v,p)); 57 } 58 return 0; 59 }
个人觉得，在很多性质上，它跟斜率优化dp很像，甚至可以说斜率优化dp是最特殊的一类四边形不等式dp。斜率优化的dp中，最优化只根一个值有关，因为它保持后来无关单调。四边形不等式，把最优解的可选方案限制起来。
我也是四边形不等式的初学者，希望路过的大牛不吝赐教。