【NOIP2013模拟联考7】OSU

描述

Description

osu 是一款群众喜闻乐见的休闲软件。
我们可以把osu的规则简化与改编成以下的样子:
一共有n次操作，每次操作只有成功与失败之分，成功对应1，失败对应0，n次操作对应为一个长度为n的01串。在这个串中连续的x个1可以贡献x^3的分数，这x个1不能被其他连续的1所包含（也就是极长的一串1，具体见样例解释）
现在给出n，以及每个操作的成功率，请你输出期望分数，输出四舍五入后保留1位小数。

Input

输入文件osu.in的第一行有一个正整数n,表示操作个数。接下去n行每行有一个[0,1]之间的实数，表示每个操作的成功率。

Output

输出文件osu.out只有一个实数，表示答案。答案四舍五入后保留1位小数。

Sample Input

3
0.5
0.5
0.5

Sample Output

6.0

【样例说明】

000分数为0，001分数为1，010分数为1，100分数为1，101分数为2，110分数为8，011分数为8，111分数为27，总和为48，期望为48/8=6.0

Data Constraint

30%的数据 n<=20
60%的数据 n<=1000
100%的数据 n<=100000

分析

30分做法：暴力乱搞
60分做法：
设fi表示i选0的期望。设an+1=0

f i = \sum 0 < = j < i (f j + (i - j - 1) 3 (1 - p j)) (1 - p i) ⎛ ⎝ \prod j < k < i p k ⎞ ⎠

从

fj转移到

fi时，

(j,i)这段区间都要选1，两端要选0。

fj已经算过它选0的概率的，不用再算一遍。
时间复杂度

O(n2)
100分做法：
设第i次操作时，前面末尾1的长度为x
选0：对答案的贡献为0
选1：对答案的贡献为

((x+1)3−x3)pi
设

E(x3)=∑k3∗Px=k
那么

E((x+1)3)=∑(k+1)3∗Px=k
展开

E((x+1)3)，将

E(x3)代入之，得

E((x+1)3)=E(x3)+3E(x2)+3E(x)+E(1)
然后类似地，维护

E(x2)，

E(x)。
具体见程序

代码

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
using namespace std;
double cube(int x){return (double)x*x*x;}
int n;
double ans;
double g1[100001],g2[100001];
int main()
{
    freopen("osu.in","r",stdin);
    freopen("osu.out","w",stdout);
    scanf("%d",&n);
    int i;
    double a;
    for (i=1;i<=n;++i)
    {
        scanf("%lf",&a);
        g1[i]=(g1[i-1]+1)*a;
        g2[i]=(g2[i-1]+2*g1[i-1]+1)*a;
        ans+=(3*g2[i-1]+3*g1[i-1]+1)*a; 
    }
    printf("%.1lf",ans);
    return 0;
}