排序算法----归并排序

归并排序完全遵循分治模式，主要操作分为三步：

1.分解：分解待排序的n个元素序列为2个n/2个元素的子序列。

2.解决：使用归并排序递归的排序两个子序列。

3.合并：合并两个已排序的子序列。

最重要的步骤就是合并2个已经排序的序列。例如：A和B都是从小到大排序的序列。依次对比A的第一个元素和B的第一个元素，把其中较小的元素出序列，插入到C中，直到两个序列中的元素都为空。最后，C序列就是一个包含A序列和B序列且从小到排序的序列。

伪码：

 1 Merge（A，p,q,r)
 2      n1 = q - p + 1
 3      n2 = r - q
 4      let L[1..n1 + 1]  and R[1.. n2 + 1] be new arrays
 5      for i = 1 to n1
 6           L[i] = A[p + i - 1]
 7      for j = 1 to n2
 8           R[i] = A[q + j]
 9     L[n1 + 1] = ∞
10     R[n2 + 1] = ∞
11     i = 1
12     j = 1
13    for k = p to r
14        if L[i] <= R[j] 
15            A[k] = L[i]
16            i = i + 1
17         else
18            A[k] = R[i]
19            j = j + 1

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上述伪码中，其中A为待排序的数组，且A[p..q ]和A[q + 1..r]都是排序好的。9，10行中，在L，R最后插入一个值，作为哨兵值，每当出现哨兵值时，它不可能为较小的值，这样可以简化代码，避免检查L或R为空。

图例：

最后我们使用Merge_sort 排序数组A[p...r]中的元素。若p >= r,时，数组中最多只有一个元素，所以是排序好的，程序结束；否则，分解数组A[p...r]为两个子数组A[p...q]和A[q + 1...r]，然后合并2个子数组。

伪码：

1 Merge_sort(A,p,r)
2    if p < r
3            q = ⌊(p + r) / 2⌋
4            Merge_sort(A,p,q)
5            Merge_sort(A,q + 1,r)
6            Merge(A,p,q,r)

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图例：

归并排序的时间复杂度：T(n) = O(nlgn)

C++代码：

 1 void Merge(int a[],int p,int q,int r)
 2 {
 3     int n1 = q - p + 1;
 4     int n2 = r - q;
 5 
 6     int *L = new int[n1],*R = new int [n2];
 7     for(int i = 0;i < n1;i++)
 8     {
 9         L[i] = a[p + i];
10     }
11     for(int i = 0;i < n2;i++)
12     {
13         R[i] = a[q + i + 1];
14     }
15 
16     for(int k = p,iL = 0,iR = 0; k <= r;k++)
17     {
18         if(iL != n1 && iR == n2)
19             a[k] = *L++;
20         if(iR != n2 && iL == n1)
21             a[k] = *R++;
22 
23         if(iL != n1 && iR != n2)
24         {        
25             if(*L < *R)
26             {
27                 a[k] = *L;
28                 L++;
29                 iL++;
30             }
31             else
32             {
33                 a[k] = *R;
34                 R++;
35                 iR++;
36             }
37         }
38     }
39     delete[] (L - n1);
40     delete[] (R - n2);
41 }
42 
43 //合并排序,T(n) = O(nlgn)
44 void Merge_sort(int a[],int p,int r)
45 {
46     if(p < r)
47     {
48         int q = (p + r) / 2;
49         Merge_sort(a,p,q);
50         Merge_sort(a,q + 1,r);
51         Merge(a,p,q,r);
52     }
53 }

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